Una interesante desigualdad

Question

si $n$ sean números enteros positivos, y que $a=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$ y definir $$S(a)=\sum_{i=1}^{n}3^{i-1}a_{i},~~~T(a)=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{a_{i}}{3^{i-1}}$$ Assmue $m,k$ sea un número entero positivo tal que $m\ge 2k$ y definir $$A=\left\{a=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})|k=S(a),a_{i}\in Z,|a_{i}|\le m,i=1,2,\cdots,n\right\}$$ demostrar que $$\dfrac{\sum_{a\in A}T(a)}{|A|}\le k$$

Esta pregunta parece muy interesante, se combinó hábilmente con la combinación de un problema de desigualdad, esta es la última pregunta que probamos hoy, finalmente pensando durante media hora, no ha encontrado un avance, supongo que esta pregunta es el resultado de un artículo Si usted ha visto antes, o si usted puede encontrar, se lo agradeceré mucho

Answer 1

Se puede demostrar que su desigualdad se cumple siempre que $2k\geqslant 3m$ . La desigualdad dada es equivalente a $$\frac{\displaystyle\sum_{a\in A}T(a)}{|A|}\leqslant k\Leftrightarrow \sum_{a\in A}T(a)\leqslant k|A|=\sum_{a\in A}S(a)$$ por definición del conjunto $A$ . Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$0\leqslant \sum_{a\in A}S(a)-T(a)$$ Supongamos que no es cierto. Entonces existe algún $a^*\in A$ tal que $S(a^*)-T(a^*)<0$ o de forma equivalente $$k<T(a^*)=a^*_1+\frac{a^*_2}{3}+...+\frac{a^*_n}{3^{n-1}}\leqslant |a_1|+\frac{|a^*_2|}{3}+...+\frac{|a^*_n|}{3^{n-1}}\leqslant m\Big(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{n-1}}\Big)$$ La última suma se puede acotar por encima de $$1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{n-1}}<\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^k}=\frac{3}{2}$$ por lo que obtenemos $$k<\frac{3m}{2}\Rightarrow 2k<3m$$ lo que plantearía una contradicción.