Demostrando la suma usando la fórmula de la inducción: $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1-\frac{1}{n+1}$

Question

Estoy tratando de demostrar que la suma usando la fórmula de la inducción:

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1-\frac{1}{n+1}$$

Hasta ahora he...

Caso Base:

• Deje que n=1 y prueba

$\frac{1}{k(k+1)} = 1-\frac{1}{n+1}$

$\frac{1}{1(1+1)} = 1-\frac{1}{1+1}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

• Cierto para n=1

Inducción Hipótesis:

• Supongamos que la afirmación es verdadera para el n-ésimo caso

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1-\frac{1}{n+1}$

Inductivo Paso:

• Demostrar, utilizando la Hipótesis Inductiva, como premisa, que

$$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = 1-\frac1{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\frac{-2-n}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)(n+2)-2-n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)(n+2)-n-1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}$$

Para probar $$ 1-\frac{1}{n+2} = \frac{n+1}{n+2} $$ Multiplicar ambos lados por $n+2$ para obtener una expresión equivalente. $$ (1-\frac{1}{n+2}) * (n+2) = (\frac{n+1}{n+2}) * (n+2) $$ $$ n+1=n+2−1 $$

¿Todo esto tiene sentido? Cómo puede ser mejorado?

Answer 1

¿Qué sabe usted acerca de la inducción de la prueba?

Usted asume que la declaración es válida para $P(n)$, y muestran que es entonces válido para $P(n+1)$. (básicamente, usted demuestre $P(n) \implies P(n+1)$.

Entonces, si la afirmación es válida para $P(0)$, es válido para $P(1)$, es válido para $P(2)$ y así sucesivamente.

De esta manera se demostró su estado de cuenta para cada $n \in \mathbb N$.

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De regreso a su problema.

Suponga $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1-\frac{1}{n+1}$$

Su objetivo es mostrar que

$$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} = 1-\frac{1}{n+2}$$

que no debería ser demasiado difícil teniendo en cuenta la anterior suposición.

Pregunte si usted tiene cualquier problema!

EDITAR

¿Cómo se puede manipular esa expresión? El objetivo es hacer de los locales aparecer! Sólo por lo que hacemos

$$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = $$

gracias a el paso inductivo

$$= 1-\frac1{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

Usted sólo tiene que demostrar que esto es igual a $\displaystyle 1- \frac{1}{n+2}$ y listo

EDIT 2

¿Cómo se puede demostrar que $$\frac{n+1}{n+2} = 1 - \frac{1}{n+2}$$?

Usted puede multiplicar ambos lados por $n+2$ para obtener un equivalente de la expresión.

$$n+1 = n+2 - 1$$ which is true, and so $\displaystyle \frac{n+1}{n+2} = 1 - \frac{1}{n+2}$ es también cierto

Answer 2

Cierto para $\color{brown}{n=1}$: $$\color{brown}{\sum_{k=1}^1\frac1{k(k+1)}}=\frac1{1\cdot2}=\color{brown}{1-\frac1{1+1}}.$$ Si es verdadera para $\color{blue}{n-1}$,$\color{green}n$: $$\color{green}{\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}}=\color{blue}{\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{k(k+1)}}+\frac1{n(n+1)}=\color{blue}{1-\frac1n}+\frac1{n(n+1)}=\color{green}{1-\frac1{n+1}}.$$

Answer 3

¿Por qué estás tratando de demostrar por inducción cuando usted puede hacerlo en una forma más elegante? Utilice el hecho de que $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ y el resultado se sigue directamente, como todos los demás términos, excepto $1$ $\frac{1}{n+1}$ cancela.

Answer 4

$$\sum_{k=1}^{m+1} \frac1{k(k+1)} = \sum_{k=1}^m\frac1{k(k+1)} +\frac1{(m+1)(m+2)}$$

$$ = 1-\frac1{m+1}+\frac1{(m+1)(m+2)}=1-\frac{m+2-1}{(m+2)(m+1)}=\cdots$$

Answer 5

Asumir por $n-1$, entonces usted será muy clara. Yo estoy dando el paso final sólo... $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}+\frac 1 {n(n+1)}=1-\frac 1 n+\frac 1 {n(n+1)}=1+\frac {-n-1+1}{n(n+1)}\\=1-\frac {1}{n+1}$$