Pregunta acerca de Galois de la Extensión y de campo fijo por un Subgrupo del grupo de Galois

Question

Deje $E= \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{7})$

Para cada $H < \mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$ identifican $\mathcal{F}(H)$

Mi intento:

Aviso de que tenemos que lindan con cuatro elementos para llegar a la división de campo, es decir,$\pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{7}$, por lo que el automorfismos sólo puede permutar estos cuatro elementos. Naturalmente nos gustaría tener la identidad de este grupo

$\begin{align*} \sigma_0: \sqrt{2} \to \sqrt{2} & \hspace{10pt} \sqrt{7} \to \sqrt{7} \\ \sigma_1: \sqrt{2} \to \sqrt{2} & \hspace{10pt} \sqrt{7} \to -\sqrt{7} \\ \sigma_2: \sqrt{2} \to -\sqrt{2} & \hspace{10pt} \sqrt{7} \to \sqrt{7} \\ \sigma_3: \sqrt{2} \to -\sqrt{2} & \hspace{10pt} \sqrt{7} \to -\sqrt{7} \end{align*}$

Desde $E/\mathbb{Q}$ es una extensión de Galois,

$$\therefore \mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q}) = \mathrm{Aut}(E/\mathbb{Q}) = \{ \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2,\sigma_3\}$$

Ahora tenemos que $\forall i = 0,...,3$,

$\begin{align*} \sigma_i(\sigma_i(\sqrt{2})) = \sqrt{2} = \sigma_0(\sqrt{2}),\hspace{10pt} \mbox{ and } & \hspace{10pt} \sigma_i(\sigma_i(\sqrt{7})) = \sqrt{7} = \sigma_0(\sqrt{7}) \end{align*}$

Por lo tanto, cada elemento es de orden dos (su propia inversa) y

$$\therefore \mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$$

Ahora que tenemos que $\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$, debemos describir el $\mathcal{F}(H)$ en términos de los subgrupos del grupo de Klein. Todos los posibles adecuada subgrupos H de $\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$ están dadas por

$$H_0 = \{\sigma_0\}, H_1 = \{\sigma_0,\sigma_1\}, H_2 = \{\sigma_0,\sigma_2\}, H_3 = \{\sigma_0,\sigma_3\}$$

Ahora debemos describir para cada una de las $H_i$ $$\mathcal{F}(H) = \{ x \in E: \sigma(x) = x, \forall \sigma \in H \}$$

Ahora para $H_0$ $$\mathcal{F}(H_0) = \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{7})$$

Del mismo modo, $$\mathcal{F}(H_1) = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$$ $$\mathcal{F}(H_2) = \mathbb{Q}(\sqrt{7})$$ Sin embargo, mi problema es este:

$$\mathcal{F}(H_3) = ??$$

Estoy en lo correcto, o esto no son los campos fijos ? Alguien me puede ayudar computación en la de $H_3$ ?

Supongo que debe ser $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{7})$ desde $\sigma_3 = -\sigma_0$, pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt7) = \mathbb{Q}(\sqrt2+\sqrt7)$, todo el campo con el que comenzó, por lo que este no puede ser el campo fijo de $H_3$ -- de hecho, sabemos $H_3$ no soluciona $\sqrt2$ o $\sqrt7$.

Sugerencia: sabemos que el grado de $\mathbb{Q}(\sqrt2+\sqrt7)$$\mathbb{Q}$$4$, por lo que podemos encontrar una base de cuatro elementos sobre los $\mathbb{Q}$. Tres de ellos son $1$, $\sqrt2$, y $\sqrt7$. Lo que podría ser el cuarto elemento de la base? A continuación, compruebe si este elemento se fija por $H_3$.

Answer 2

No $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{7})$ desde $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{7})$ no se fija por $\sigma_3$.

Se identifican correctamente los dos primeros campos fijos señalando que $\sigma_1(\sqrt{2})=\sqrt{2}$$\sigma_2(\sqrt{7})=\sqrt{7}$.

Ahora $\sigma_1 \circ \sigma_2 = \sigma_3$. Por lo $\sigma_3(\sqrt{2}\sqrt{7})=\sqrt{2}\sqrt{7}$.

Creo que se puede adivinar $H_3$ ahora.