Hallar el número de raíces en un área (teorema de Rouché)

Question

La tarea consiste en encontrar el número de ${z^4} + {z^3} - 4z + 1 = 0$ en la zona $1 < \left| z \right| < 2$ . (esta tarea se encuentra en el apartado del teorema de Rouché)

He utilizado este teorema muchas veces, pero no sé cómo resolver esta tarea. Esto es simple para encontrar el número de raíces en la zona $0 < \left| z \right| < 1$ pero no sé cómo hacer lo mismo en otra zona: $0 < \left| z \right| < 2$ .

Por supuesto, ahora número de raíces con la ayuda de Wolfram Alpha, por ejemplo.

¿Podría ayudar, por favor, cómo resolver esta tarea con el teorema de Rouché?

Answer 1

Recordemos el enunciado del teorema:

Teorema: (Rouché) Let $A$ sea una región delimitada por un bucle simple $\gamma$ . Si $f(z)$ y $g(z)$ son analíticas en una vecindad abierta de $A$ y $|f(z)|>|g(z)|$ en $\gamma$ entonces $f(z)$ y $f(z)+g(z)$ tienen el mismo número de ceros dentro $A$ .

Círculo |z|=1: Sea $p(z)=z^4+z^3-4z+1$ sea su polinomio. Primero contemos el número de ceros dentro del disco $|z|=1$ . Desde $$|-4z|\geq 3\geq |z^4+z^3+1|,$$ sabemos que habrá un cero en esta región aplicando el Teorema de Rouché con $f=-4z$ .

Círculo |z|=2: Para hallar el número de ceros dentro del círculo $|z|=2$ tenemos que ser un poco más delicados. Obsérvese que tenemos la milagrosa identidad

$$p(z)=\left(z^4+z^3-z^2-z\right)+\left(z^2-3z+1\right)=z(z-1)(z+1)^2+(z+1)^2-z.$$

Con alguna manipulación de desigualdades tenemos también el siguiente lema

Lema: La desigualdad $$2|z-1||z+1|^2> |z+1|^2+2$$ es válido para $|z|=2$ .

Considere $f(z)=z(z-1)(z+1)^2$ y $g(z)=(z+1)^2-z$ en el Teorema de Rouché. Cuando $|z|=2$ tenemos ambos $$|(z+1)^2|+2\geq |(z+1)^2-z|,$$ y $$|z(z-1)(z+1)^2|\geq 2|(z-1)(z+1)^2|.$$ Por lo tanto, por el lema $|f(z)|>|g(z)|$ para $|z|=2$ para que $p(z)$ tiene cuatro raíces dentro del disco $|z|=2$ .

Conclusión: Como no hay ceros con $|z|=2$ o $|z|=1$ concluimos que hay $3$ ceros en la región $1<|z|<2$ .

Espero que le sirva de ayuda,