Supongamos que $p(z) = a_nz^n+\cdots+a_0$ y tiene un módulo máximo $1$ en el límite del disco unitario.

Question

Supongamos que $p(z) = a_nz^n+\cdots+a_0$ y tiene un módulo máximo $1$ en el límite del disco unitario, demuestre que $|p(z)| \leqslant max\{1,|z|^{n}\}$ . Cómo demostrar que $|p(z)| \leqslant |z|^n$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que $q(z) = z^n p(z^{-1})$ es un polinomio. ¿Qué sabes de $\lvert q(z) \rvert$ cuando $\lvert z\rvert=1$ ? Utilizando el principio del módulo máximo, ¿qué dice esto sobre $\lvert p(z^{-1}) \rvert$ si $0 < \lvert z \rvert\leq 1$ ?

Answer 2

Su función $p$ es un polinomio; tales funciones son funciones holomorfas en el conjunto $\Bbb C$ .

Considerando $p$ en el disco unitario, el teorema del módulo máximo dice que (ya que $p$ no es constante) $|p|$ asume su valor máximo en la frontera que es $1$ por hipotesis, es decir $|p(z)|\le1$ cuando $|z|\le1$ .

Desde $q(z):=z^np(z^{-1})$ es de nuevo un polinomio, la MMT sigue siendo válida, y $|q|$ asume su máximo en $|z|=1$ siendo este máximo $=1$ por las consideraciones anteriores, tenemos que $|q(z)|\le1$ cuando $|z|\le1$ es decir $|p(z^{-1})|\le|z|^{-n}$ .

Así, tomando $w=1/z$ tenemos que $|w|\ge1$ y $|p(w)|\le|w|^n$ .

Reanudar todo $|p(z)|\le1$ dentro del disco unitario, $|p(z)|\le|z|^n$ fuera de ella. Brevemente $|p(z)|\le\max\{1,|z|^n\}$ como se quiera.

Answer 3

Una pista:

$$\max_{1\le |z|\le R} \left |\frac{p(z)}{z^n} \right | \le \max (1,|a_n| + O(1/R)).$$