Demostrar la equivalencia de una suma y una integral doble

Question

Basado en "Ciertos Subclase de Estrellas de las Funciones de" diario de Chun-Yi y Shi-Qiong Zhou en 2007 (Science Direct), he encontrado dificultades para entender la prueba en el Teorema 3, donde se han verificado:

$$ 1+2(1-\beta) \displaystyle\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{z^{n-1}}{n(\alpha(n-1)+1)} = 1 +\frac{2(1-\beta)}{\alpha} \int_0^1 \! t^{\frac{1}{\alpha}} \,\int_0^1 \! \frac{vz}{1-tvz} \, \mathrm{d} v \ \mathrm{d} t$$

Podría alguien darme la idea de cómo demostrarlo?

Gracias.

Answer 1

Su objetivo final es demostrar que

$$\int\limits_0^1 {{t^{1/\alpha }}\int\limits_0^1 {\frac{{vz}}{{1 - tvz}}dv} dt} = \frac{1}{\alpha }\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{z^{n - 1}}}}{{n\left( {\alpha \left( {n - 1} \right) + 1} \right)}}} $$

Esto se puede hacer por la serie geométrica ya que estamos integrando más de $(0,1$).

$$\frac{{vz}}{{1 - tvz}} = vz\sum\limits_{k = 0}^\infty {{t^k}{v^k}{z^k}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{t^k}{v^{k + 1}}{z^{k + 1}}} $$

Así tenemos

$$\int\limits_0^1 {\frac{{vz}}{{1 - tvz}}} dv = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{t^k}{z^{k + 1}}}}{{k + 2}}} $$

Moving on obtenemos:

$$\int\limits_0^1 {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{t^{k + 1/\alpha }}{z^{k + 1}}}}{{k + 2}}} } dt = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{z^{k + 1}}}}{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1 + 1/\alpha } \right)}}} $$

Reorganización de a $k=2$ tenemos

$$\eqalign{ & \sum\limits_{k = 2}^\infty {\frac{{{z^{k - 2 + 1}}}}{{\a la izquierda( {k - 2 + 2} \right)\left( {k - 2 + 1 + 1/\alpha } \right)}}} \cr & \sum\limits_{k = 2}^\infty {\frac{{{z^{k - 1}}}}{{k\left( {k - 1 + 1/\alpha } \right)}}} \cr & \frac{1}{\alpha }\sum\limits_{k = 2}^\infty {\frac{{{z^{k - 1}}}}{{k\left( {\alpha \left( {k - 1} \right) + 1} \right)}}} \cr} $$

que es lo que quería.

Answer 2

Restar $1$, luego se multiplica por $\frac{\alpha}{2(1-\beta)}$ en ambos lados. Expanda (mediante una suma de $n=2$ $\infty$como en el resultado deseado): $$ \frac{vz}{1-tvz}=\sum_{n=2}^{\infty}t^{n-2}(vz)^{n-1} $$ Intercambio de suma y dentro de la integración (dentro del radio de convergencia, en los que la serie es absolutamente convergente), y utilice el hecho de que $\int_0^1v^kdv=\frac{1}{k+1}$ ( $k>-1$ ), a continuación, añadir los exponentes de la $t$, de intercambio de suma e integración de nuevo y usar el mismo hecho.