Sobre la secuencia "Mirar y Decir" y la constante de Conway

Question

Les secuencia de mirar y decir empezando por $S_1=1$ es,

$$S_n = 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211,\dots$$

Si $L_n$ es el número de dígitos del $n$ ª legislatura entonces,

$$\lim_{n\to\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n}=\lambda\tag{1}$$

donde $\lambda = 1.303577\dots$ es un número algebraico de grado 71.

(Puede encontrarse un análisis de esta secuencia y de la constante en la obra de Nathaniel Johnston blog .)

Preguntas :

1. ¿Es el límite (1) un artefacto de base-10? Si los términos de $S_n$ se traducen a otra base- $n$ representación, digamos en binario, ¿seguirá siendo el límite $\lambda$ ?
2. Me parece intrigante que $\lambda$ resulta ser un número algebraico de grado tan alto. Sin utilizar ejemplos obvios como $x^n=1$ o constantes n-nacci $x^n(2-x)=1$ o artificiales $\phi^{1/m}, \lambda^{1/n}$ etc, ¿existe alguna constante que aparezca en un contexto no trivial de teoría de números (como un cociente límite, etc) que sea algebraica y tiene un grado mayor que $\lambda$ ?

Answer 1

En primer lugar, la clave del análisis de la secuencia look-and-say es la matriz de transición $T$ de los "elementos del decaimiento audioactivo", como los ha denominado John H. Conway. Esta matriz puede utilizarse para obtener una forma cerrada del número de dígitos, y los resultados asintóticos se obtienen considerando los valores propios de $T$ . Es decir: mirar-y-decir es como Fibonacci, sólo que con 92 en lugar de 2. Así que:

1) La secuencia de mirar y decir no depende mucho de la base elegida, con una restricción importante: Gran parte de la regularidad en el comportamiento se basa en el hecho de que ningún otro número que no sea $1,2,3$ pueden aparecer en la secuencia. Sin embargo, esto sigue siendo cierto para cualquier base $\geq 4$ .

Por tanto, para cualquier base $\geq 4$ la matriz $T$ y por lo tanto $\lambda$ será el mismo. Para las bases $2$ y $3$ la recursividad (¡si la hay!) será probablemente muy diferente, por lo que a priori no hay ninguna razón para que $\lambda_2$ y $\lambda_{10}$ deben estar relacionados.

2) La constante $\lambda$ es algebraico porque es un valor propio de una matriz entera. Así que si usted toma una relación de recurrencia donde $T$ tiene un polinomio mínimo de grado superior a 71, deberías poder dar una lambda de grado superior. Pero supongo que esta construcción no es lo que querías decir ya que no es tan natural como el "decaimiento audioactivo".

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Edita: En cuanto a los ejemplos de números algebraicos de alto orden: El inicio de un $7$ -del mapa logístico tiene grado 114 como se indica en http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicNumber.html

Answer 2

No hay ninguna "base" implicada en la secuencia "mirar y decir". Tal como está definida, cada término de la secuencia no es un número entero, sino una secuencia finita de números enteros. Suele escribirse como un único número entero porque, en los casos de interés más comunes, sólo intervienen los dígitos 1,2,3, por lo que no hay posibilidad de confusión. Pero el teorema original de Conway permite enteros arbitrarios en la secuencia inicial, y según el teorema cosmológico estos enteros mayores persisten finalmente en una de dos formas, que él llamó "isótopos de Np y Pu", con razón límite 0.

Answer 3

1) Puedes utilizar un enfoque similar al del Blog de Nathaniel Johnston para la secuencia binaria de mirar y decir: 1,11,101,111011,11110101,... Supongo que puedes hacerlo de otra manera, pero yo conseguí esas 10 subsecuencias: 111011,11110101,100110,11100,10110,1110,111100,1001100,11110,101100. Obtienes una matriz de transformación con el polinomio caractarístico $$ x^4(x+1)(x-1)^2(x^3-x^2-1) $$ Que tiene una raíz real positiva no trivial $$ x\approx 1.465571232 $$