Demostrar que esta Newton suma del valor es único

Question

$$\begin{align}a+b+c+d&=1\\ a^2+b^2+c^2+d^2&=2\\ a^3+b^3+c^3+d^3&=3\\ a^4+b^4+c^4+d^4&=4\\ a^5+b^5+c^5+d^5&- ?\end{align}$$

El método usual veo para resolver este tipo de problemas es el de golpear usando el método de Newton sumas.

Deje $P_n=a^n+b^n+c^n+d^n$.

Si tomamos $a,b,c,d$ a las raíces de

$$f(x)=x^4-x^3-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6}x+\frac{1}{24},$$

a continuación, se satisfacen todas las condiciones iniciales y también tenemos $P_5=\frac{139}{24}$.

Pero lo que esto demuestra es que no existe $a,b,c,d$ de manera tal que las condiciones iniciales son satisfechos y $P_5=\frac{139}{24}$.

Esto por sí solo no prueba que este es el único valor posible de $P_5$. Cómo probar que es, en general?

(Podría ser posible encontrar el valor de uso sólo interesante tipos de factorización de identidades, lo que demostraría que el valor es único, pero tal estrategia no es tan general como el de Newton sumas)

Answer 1

Además, usted simplemente debe tener en cuenta que hay un único monic el cuarto grado polinomio $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0$ a que las cuatro raíces $a,b,c,d$

Supongamos $a,b,c,d$ son las raíces del polinomio $f(x)=x^4+px^3+qx^2+rx+s=0$ - a continuación, $p,q,r,s$ está definida de forma única en términos de $a,b,c,d$ y, de hecho, en términos de las sumas de las potencias.

Ahora calcular $$0=af(a)+bf(b)+cf(c)+df(d)=a^5+b^5+c^5+d^5+4p+3q+2r+s$$on substituting the known values for $a+b+c+d, a^2+b^2+c^2+d^2$, etc.

Por lo tanto la suma de la quinta poderes está determinada únicamente por $p,q,r,s$, que es determinada únicamente por el dado de datos.