Si $A$ es el generador de $(X_t)$, $A+f$ es el generador de $\mathbb E \int_0^t f(X_s) \mathrm ds f(X_t)$

Question

Deje $X=(X_t)_{t\geq0}$ ser un proceso de Markov en un espacio de estado $\Gamma$ (un topológico de Hausdorff espacio vectorial), vamos a $A$ ser el generador infinitesimal de $X$ y deje $\mathcal C(\Gamma)$ el espacio de funciones continuas en $\Gamma$. A continuación, para cada función continua $f \in \mathcal C(\Gamma)$ el operador $A+f$ es el generador infinitesimal de la semigroup $(P_t^f)_{t\geq0}$ definido por \begin{equation*} P_t^f g(x) = \mathbb E_x\left[\mathrm \exp\left\{\int_0^t f(X_s) ds\right\} g(X_t) \right], \qquad g \in \mathcal C(\Gamma), x \in \Gamma, \end{ecuación*} donde $\mathbb E_x$ denota la expectativa con respecto al proceso $X$ a partir de $x \in \Gamma$.

En otras palabras:

Mostrar \begin{equation*} \lim_{t\rightarrow0} \frac{1}{t} \left( \mathbb E_x\left[\mathrm \exp\left\{\int_0^t f(X_s) ds\right\} g(X_t) \right] - g(x) \right) = Ag(x) + f(x) g(x).\tag1 \end{ecuación*}

En una prueba estoy estudiando he encontrado esta establecido como un hecho conocido acerca de los procesos de Markov, pero no pude encontrar ninguna referencia adecuados y mi conocimiento acerca de los continuos procesos de Markov es limitado.

Mi pregunta: ¿por Qué y bajo qué supuestos acerca de la $X$ $\Gamma$ (1) es verdadera?

(En el caso que he encontrado, $\Gamma$ es en realidad finita.)

En otra nota, ¿el semigroup $(P_t^f)$ oso cualquier significado más profundo? La definición de la primera me pareció bastante arbitrario para mí, pero el hecho de que esta declaración debe ser conocida generalmente hace que parezca que hay más a él que me doy cuenta...

Answer 1

Escribir \begin{equation*} \frac{1}{t} \left( \mathbb E_x\left[\mathrm e^{\,\int_0^t f(X_s) ds} g(X_t) \right] - g(x) \right) = \mathbb E_x\left[{\mathrm e^{\,\int_0^t f(X_s) ds} -1\over t}\, g(X_t) \right] +\mathbb{E}_x\left[{g(X_t)-g(x)\over t}\right]. \end{ecuación*} Dejando $t\downarrow 0$, el lado derecho se convierte en $f(x)g(x)+Ag(x).$ Usted va a querer asumir que $f,g$ están delimitadas funciones continuas, que $g\in{\cal D}(A)$ y $(X_t)$ ha a la derecha la muestra continua de caminos, casi seguramente.