El uso de Lagrange método para encontrar el máximo valor

Question

El uso de Lagrange método para encontrar el máximo valor de $\langle A\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle$ sujeto a la condición $\langle \mathbf{x},\mathbf{x}\rangle=1$ $\langle \mathbf{u}_1,\mathbf{x}\rangle =0$ donde $\mathbf{u}_1$ es distinto de cero vector en $N(s_1^2I_n-A^TA)$, $s_1$ es el mayor valor singular de a y $A=A^T \in \mathbb{R}^{n\times n}$.

Puede alguien por favor me explique cómo proceder con esta pregunta?

Answer 1

Esto está conectado a algo demostrado en varios lugares en MS (por ejemplo Pregunta relativa a la multiplicadores de Lagrange): el máximo de una forma cuadrática $Q$ en la unidad de la esfera de un verdadero espacio euclidiano $E$ es el mayor autovalor de la matriz de $Q$ respecto de cualquier base ortonormal de $E$. Así que nos tomamos $E\subset\mathbb R^n$ definido por $\langle \mathbf{u}_1,\mathbf{x}\rangle =0$ $Q$ es la restricción a$E$$\langle A\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle$. Por lo tanto uno tiene que describir los autovalores de a $Q$ buscando cuidadosamente en $\mathbf{u}_1$. Esto puede ser hecho usando el Teorema Espectral: siempre hay un ortonormales base que consta de autovalores (un espectral de la base). Muchas afirmaciones que sigue más o menos directa de las consecuencias de este hecho.

En primer lugar, como $s_1$ es un autovalor de $A$, $s_1^2$ es uno de $A^TA=A^2$ ($A$ es simétrica). De hecho, el espacio propio de $s_1^2$ es que el $N$ contiene $\mathbf u_1$, y hay dos posibilidades:

Caso 1: $-s_1$ no es un autovalor de a $A$. A continuación, $N=N(s_1I-A)$ $\mathbb R^n$ se divide en una suma ortogonal $N\oplus F$, se $F$ es la suma de los otros subespacios propios de a $A$. Esto puede ser visto usando un espectral de base para $A$. Ahora:

$\quad$ (i) Si $\dim(N)=1$, $s$ tiene multiplicidad $1$, $E=F$ y la matriz de $Q$ wrt una base ortonormales de $F$ consta de los vectores propios de a $A$ tiene los autovalores de a $A$ con la excepción de $s$. Así, el máximo que se busca es el máximo autovalor de a $A$ menor que $s_1$.

$\quad$ (ii) Si $\dim(N)>1$, nos encontramos con ${\mathbf u}_2\in N$ norma $1$ y ortogonal a $\mathbf u_1$, por lo que el $Q(\mathbf u_2)=s_1$, siendo la máxima en $\|\mathbb x\|=1$, es también el máximo que buscamos.

Caso 2: $-s_1$ también es un autovalor de a $A$. A continuación, $N$ es la suma de los subespacio propio de $s_1$ e de $-s_1$, lo que puede dar un máximo de $\le s_1$. Por ejemplo, para $n=2\ $ deje $A$ ser la diagonal de la matriz $D(1,-1)$. A continuación, $\mathbf u_1$ puede ser cualquier vector en $\mathbb R^2$, de modo que el máximo de $Q$ nos interesa puede ser cualquier número entre el$s_1=1$$-1$. Aún así, uno al menos puede decir, como en (ii) anterior (por el mismo argumento):

$\quad$ Si $\dim(N)>1$, $s_1$ es el máximo que buscamos.