Demostración del teorema de equivalencia de las matrices invertibles a la izquierda

Question

Estoy haciendo un curso de Teoría de las Matrices y tenemos un teorema que dice (entre otras cosas) que:

Las siguientes condiciones sobre la matriz $A$ de tamaño $m \times n$ son equivalentes:

(1) A tiene inversa a la izquierda
(2) El sistema $Ax=b$ tiene como máximo una solución para cualquier vector columna $b$ .
...

La prueba de que (1) $\implies$ (2) es así:

Si $Ax=b$ y $V$ es un inverso de la izquierda, entonces $VAx=Vb \implies x=Vb$ por lo que tenemos a lo sumo una solución (si es que hay alguna).

La cuestión es que los inversos de la izquierda no son únicos, ¿verdad? Tome $A = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right)$ Eso ha dejado a los inversores $V_1= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right)$ et $V_2 = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \right)$

¿Significa esto que la prueba es errónea o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

La suya es una buena observación. La salida a este aparente problema es que si $b=Ax$ entonces $V_1b = V_2 b = x$ . Podemos comprobarlo directamente con las matrices de su ejemplo, es decir $$\begin{equation}\begin{array}{ccc} A=\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} , & V_1= \begin{bmatrix} 1 & 0\end{bmatrix} ,& V_2= \begin{bmatrix} 1 & 1\end{bmatrix}\end{array}.\end{equation}$$ En este caso $b=Ax$ significa que $$b= \begin{bmatrix} b_1 \\ 0 \end{bmatrix},$$ para un escalar $b_1$ . Entonces $$V_1 b= b_1= V_2b.$$

Answer 2

La existencia del inverso de la izquierda significa $A$ es 1-1, es decir, $Ax_1 = Ax_2$ implica $VAx_1 = VAx_2$ es decir, $x_1=x_2$ . Así que una solución, si existe, debe ser única.

Answer 3

Añadir un paso intermedio podría ayudar.

La matriz $A$ tiene una inversa a la izquierda si $A$ es inyectiva si el sistema $Ax=b$ tiene como máximo una solución para cada $b$ .