Factorial límite inferior

Question

Un profesor en la clase dio el siguiente límite inferior para el factorial $$n! \ge {\left(\frac n2\right)}^{\frac n2}$$ pero no sé cómo llegó a esta fórmula. El límite superior de $n^n$ era bastante fácil de entender. Tiene sentido. ¿Alguien puede explicar por qué la fórmula anterior es el límite inferior?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Supongamos primero que $n$ es incluso, decir $n=2m$. Entonces

$$n!=\underbrace{(2m)(2m-1)\ldots(m+1)}_{m\text{ factors}}m!\ge(2m)(2m-1)\ldots(m+1)>m^m=\left(\frac{n}2\right)^{n/2}\;.$$

Ahora supongamos que $n=2m+1$. Entonces

$$n!=\underbrace{(2m+1)(2m)\ldots(m+1)}_{m+1\text{ factors}}m!\ge(m+1)^{m+1}>\left(\frac{n}2\right)^{n/2}\;.$$

Answer 2

Sugerencia: Para un positivo enteros $a$ ,$a(n-a)\ge \frac{n}{2}$. Esto es así porque para $0\le x\le n$, la función de $x(n-x)$ es el aumento de hasta el $x=\frac{n}{2}$, y luego disminuye.

Par los números de $a$ $n-a$ en el factorial.