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cómo probar GL(n,R) no está conectado subconjunto abierto y subconjunto deMn(R)con esta distancia

deje que n>1 ser natural y de revisión número, S:={A : Mn(R) ser todo real, la matriz,definir este medidor para todos A=[aij] B=[bij] d(a,B):=max{|aijbij|:i,j=1,2,2...,n} y GL(n,R) es el conjunto de todos los n×n en singular de la matriz de cómo demostrar GL(n,R) no está conectado y abierto subconjunto de S ? gracias de antemano

19voto

Fly by Night Puntos 17932

El conjunto GL(n,R) se compone de todos los no-singular n×n matrices con entradas real. Es una n2-dimensiones reales del colector. Dada una matriz XGL(n,R) uso de xijR para denotar la entrada en el ith fila y jth columna. En otras palabras:

X=(x11x1nxn1xnn)

De ello se deduce que el factor determinante det es un polinomio en la n^2variables:

\det(X) \in \mathbb{R}[x_{11},\ldots,x_{1n},\ldots,x_{n1},\ldots,x_{nn}] \, .

El punto clave aquí es que los polinomios son funciones continuas.

La función de \det : \text{Mat}(n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R} es continua. Por la definición de continuidad, a la inversa de la imagen del conjunto abierto \{ x \in \mathbb{R} : x<0\} está abierto en \text{Mat}(n,\mathbb{R}). Por tanto, la no-singular matrices con negativo determinante forman un subconjunto abierto de \text{Mat}(n,\mathbb{R}). de Similitud: la inversa de la imagen del conjunto abierto \{ x \in \mathbb{R} : x>0\} está abierto en \text{Mat}(n,\mathbb{R}). Por tanto, la no-singular matrices con determinante positivo forman un subconjunto abierto de \text{Mat}(n,\mathbb{R}).

Recordar que si X está conectado y f:X \to Y es una función continua, a continuación, Y está conectado. El contrapositivo nos dice que si Y no está conectado y f : X \to Y es una función continua de la X no está conectado. Para mostrar que X = \text{GL}^+(n,\mathbb{R}) \cup \text{GL}^-(n,\mathbb{R}) no está conectado, debemos mostrar que \mathbb{R}^+ \cup \mathbb{R}^- no está conectado. Esto se puede hacer debido a que \det : \text{Mat}(n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R} es continua.

Para ello, debemos demostrar que:

\begin{array}{ccc} \overline{\mathbb{R}^+} \cap \mathbb{R}^- &=& \emptyset \\ \mathbb{R}^+ \cap \overline{\mathbb{R}^-} &=& \emptyset \end{array}

Esto es claramente cierto, ya que: \begin{array}{ccccc} \overline{\mathbb{R}^+} \cap \mathbb{R}^- &=& (-\infty,0) \cap [0,\infty) &=& \emptyset \\ \mathbb{R}^+ \cap \overline{\mathbb{R}^-} &=& (-\infty,0] \cap (0,\infty) &=& \emptyset \end{array}

15voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Observar que \det es continua y es positivo o negativo, pero nunca cero.

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