cómo probar GL(n,R) no está conectado subconjunto abierto y subconjunto de$M_n (\mathbb{R})$con esta distancia

Question

deje que n>1 ser natural y de revisión número, $S:=${A : $M_n (\mathbb{R})$ ser todo real, la matriz,definir este medidor para todos $A=[a_{ij}]$ $B=[b_{ij}]$ d(a,B):=max{|$a_{ij}-b_{ij}$|:i,j=1,2,2...,n} y GL(n,R) es el conjunto de todos los n×n en singular de la matriz de cómo demostrar GL(n,R) no está conectado y abierto subconjunto de S ? gracias de antemano

Answer 1

El conjunto $\text{GL}(n,\mathbb{R})$ se compone de todos los no-singular $n \times n$ matrices con entradas real. Es una $n^2$-dimensiones reales del colector. Dada una matriz $X \in \text{GL}(n,\mathbb{R})$ uso de $x_{ij} \in \mathbb{R}$ para denotar la entrada en el $i^{\text{th}}$ fila y $j^{\text{th}}$ columna. En otras palabras:

$$X = \left( \begin{array}{ccc} x_{11} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & \cdots & x_{nn}\end{array}\right)$$

De ello se deduce que el factor determinante $\det(X)$ es un polinomio en la $n^2$variables:

$$\det(X) \in \mathbb{R}[x_{11},\ldots,x_{1n},\ldots,x_{n1},\ldots,x_{nn}] \, .$$

El punto clave aquí es que los polinomios son funciones continuas.

La función de $\det : \text{Mat}(n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ es continua. Por la definición de continuidad, a la inversa de la imagen del conjunto abierto $\{ x \in \mathbb{R} : x<0\}$ está abierto en $\text{Mat}(n,\mathbb{R})$. Por tanto, la no-singular matrices con negativo determinante forman un subconjunto abierto de $\text{Mat}(n,\mathbb{R}).$ de Similitud: la inversa de la imagen del conjunto abierto $\{ x \in \mathbb{R} : x>0\}$ está abierto en $\text{Mat}(n,\mathbb{R})$. Por tanto, la no-singular matrices con determinante positivo forman un subconjunto abierto de $\text{Mat}(n,\mathbb{R}).$

Recordar que si $X$ está conectado y $f:X \to Y$ es una función continua, a continuación, $Y$ está conectado. El contrapositivo nos dice que si $Y$ no está conectado y $f : X \to Y$ es una función continua de la $X$ no está conectado. Para mostrar que $X = \text{GL}^+(n,\mathbb{R}) \cup \text{GL}^-(n,\mathbb{R})$ no está conectado, debemos mostrar que $\mathbb{R}^+ \cup \mathbb{R}^-$ no está conectado. Esto se puede hacer debido a que $\det : \text{Mat}(n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ es continua.

Para ello, debemos demostrar que:

$$\begin{array}{ccc} \overline{\mathbb{R}^+} \cap \mathbb{R}^- &=& \emptyset \\ \mathbb{R}^+ \cap \overline{\mathbb{R}^-} &=& \emptyset \end{array}$$

Esto es claramente cierto, ya que: $$\begin{array}{ccccc} \overline{\mathbb{R}^+} \cap \mathbb{R}^- &=& (-\infty,0) \cap [0,\infty) &=& \emptyset \\ \mathbb{R}^+ \cap \overline{\mathbb{R}^-} &=& (-\infty,0] \cap (0,\infty) &=& \emptyset \end{array}$$

Answer 2

Observar que $\det$ es continua y es positivo o negativo, pero nunca cero.