Determina (sin usar una calculadora) cuál de los siguientes es mayor: $1+\sqrt[3]{2}$ o $\sqrt[3]{12}$

Question

Me he encontrado con la siguiente pregunta en un libro de bachillerato en la asignatura de potencias. y, parece que no puedo resolverla....

Determina (sin usar una calculadora) cuál de los siguientes es mayor: $1+\sqrt[3]{2}$ o $\sqrt[3]{12}$

¿Alguna idea?

Gracias. Shir

Answer 1

Hay un desigualdades conocidas entre la media aritmética y la media cúbica. Dice que para los no negativos $x$ y $y$ que tenemos: $$ \frac{x+y}{2} \leq \sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}{2}}. $$ Si ponemos $x = 1$ y $y = \sqrt[3]{2}$ obtenemos $$ \frac{1 + \sqrt[3]{2}}{2} \leq \sqrt[3]{\frac{3}{2}}. $$ Multiplicando ambas partes por $2$ obtenemos $1 + \sqrt[3]{2} \leq \sqrt[3]{12}$ .

Answer 2

Supongamos que $1+\root 3\of 2\geq \root 3 \of {12}$ . La cubicación da $$1+3\root 3\of 2 + 3\root 3\of 4 + 2\geq 12\ ,$$ o $$\root 3\of 2+\root 3\of 4\geq 3\ .\tag{1}$$ Ahora desde $2000<2197=13^3$ podemos deducir que $\root 3\of 2<1.3$ De ahí que $\root 3\of 4< 1.69$ . Los dos últimos hechos juntos contradicen $(1)$ por lo que nuestra suposición original era falsa. De ello se desprende que $$1+\root 3\of 2\leq \root 3 \of {12}\ .$$

Answer 3

A veces los matemáticos tendemos a evitar pensar primero "fácilmente" =) $$\sqrt[3]{12}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{6}-1)\geq 1$$

Answer 4

Dejemos que $y=(1+\sqrt[3]{2})^3$ y queremos saber si es mayor que 12.
$(y-3)^3/54=y$ pero $(12-3)^3/54=13{1\over 2}$
$z=(x-3)^3/54-x$ es cóncavo hacia arriba si $x>3$ , $z(3)<0$ así que $z(x)$ tiene un cero (a saber $y$ ) para $x>3$ .
$z(12)=3/2>0$ así que $12>y$

Answer 5

Después de leer sus útiles respuestas, tengo algo propio: $ (1+\sqrt[3]{2})<\sqrt[3]{12} \iff (1+\sqrt[3]{2})^3<12 \iff 1+3\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4} +2 < 12 \iff 3\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4} < 9 \iff \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} < 3 \iff 2+3\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}+4 < 27 \iff 3\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4} < 21 \iff \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} < 7 $ y la última desigualdad es cierta ya que $\sqrt[3]{2}<2$ y $\sqrt[3]{4}<4$

¡¡Gracias a todos por sus respuestas!!