Confusión con respecto a varios eventos en el teorema de bayes

Question

He ido a través de la cadena la regla de la probabilidad En el que se especifica

$P(A1,A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1,A2…An−1)$

Pero cuando veo la derivación de la regla de Bayes para tres eventos Me llegó a través de la fórmula para ser

Fuente:

$P(ABC) \;= P(A|BC)P(BC)\\ \qquad\quad\quad= P(B|AC)P(AC)\\ \qquad\quad\quad= P(C|AB)P(AB)$

Pero si vemos de acuerdo a la regla de la cadena $P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|A,B)$

Entonces, ¿por qué los dos son diferentes, hay un error en mi entendimiento

Amablemente me ilumine

Saludos, Siddartha C. S

Answer 1

Todos ellos son verdaderos, por lo que no hay ninguna incoherencia.

Más generalmente, por la simetría

$\quad P(a,B,C) \\ = P(a\a mediados B,C)P(B,C) = P(a\a mediados B,C)P(B\a mediados C)P(C)= P(a\a mediados B,C)P(C\a mediados B)P(B)\\ = P(B\a mediados de a,C)P(a,C) = P(B\a mediados de a,C)P(a\a mediados C)P(C)= P(B\a mediados de a,C)P(C\mediados de los a)P(A)\\ = P(C\mediados de los a,B)P(a,B) = P(C\mediados de los a,B)P(a\a mediados B)P(B)= P(C\mediados de los a,B)P(B\a mediados de a)P(A)\\ $

donde se puede ver el primer bloque de igualdades en la columna de la izquierda y su regla de la cadena de igualdades en el inicio

Answer 2

$$P(A|BC)P(BC) = \frac{P(ABC)}{P(BC)}P(BC)=P(ABC)$$

$$P(B|AC)P(AC) = \frac{P(ABC)}{P(AC)}P(AC)=P(ABC)$$

$$P(C|AB)P(AB) = \frac{P(ABC)}{P(AB)}P(AB)=P(ABC)$$

Answer 3

Son equivalentes. Es simplemente variando el grado para el cual se aplica la definición de probabilidad condicional.

$\def\P{\operatorname{\mathsf P}}\P(A_1,A_2,A_3) ~{= \P(A_1)\P(A_2,A_3\mediados de A_1)\\= \P(A_1)\P(A_2\mediados de A_1)\P(A_3\mediados de A_1,A_2) \\ = \P(A_1,A_2)\P(A_3\mediados de A_1,A_2) \\ ~\vdots~\textit{etc}}$

Utilizando el "producto" de la notación

$\P(ABC) ~{= \P(a)\P(AC\mediados de los A) \\ = \P(a)\P(B\a mediados de A)\P(C\mid AB) \\ = \P(AB)\P(C\mid AB) \\ ~\vdots~\textit{etc}}$