$f(x)=3x+4$ - ¿Inyectiva y sobreyectiva?

Question

Como continuación de Entender por qué $f(x)=2x$ es inyectiva Estoy trabajando en demostrar/desmentir que $$f(x)=3x+4,$$ donde las entradas/salidas viven en números reales, es inyectiva y suryente.

Suponiendo que $$f(a)=f(b),$$ entonces $$3a+4=3b+4.$$

Resolver para $0$ :

$$3a+4-4-3b=0$$ $$3(a-b)=0$$

Así que, $a$ debe ser igual a $b$ . Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Con respecto a si es surjetivo, miré su gráfico:

Desde $$3x + 4$$ es lineal, entonces es continua, creo. Como resultado, ¿es suficiente prueba de que es suryente, es decir, para todo $x$ en $$f(x),$$ ¿la salida cubrirá todos los números reales?

Answer 1

Yo estructuraría tus pruebas así.

Reclamación: La cartografía $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por $f(x)=3x+4$ es inyectiva.

Prueba. Dejemos que $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ y supongamos $f(x_1)=f(x_2)$ . Entonces $$ f(x_1) = f(x_2)\\[0.5em] 3x_1+4 = 3x_2+4\\[0.5em] 3x_1=3x_2\\[0.5em] x_1=x_2. $$ Por lo tanto, el mapeo es inyectivo. $\blacksquare$

Reclamación: La cartografía $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definido por $f(x)=3x+4$ es suryente.

Prueba. Supongamos que $y\in\mathbb{R}$ . Entonces dejemos que $x=\frac{y-4}{3}$ . Tenemos lo siguiente: \begin {align} f(x) &= 3x+4 \\ [0.5em] &= 3 \left ( \frac {y-4}{3} \right )+4 \\ [1em] &= (y-4)+4 \\ [0.5em] &= y. \end {alinear} Por lo tanto, el mapeo es suryente. $\blacksquare$

Answer 2

Puede demostrar directamente que $f$ es suryente.

Supongamos que $y\in\mathbb R$ . ¿Podemos encontrar un $x\in\mathbb R$ con $f(x)=y$ ?

$$3x+4 = y \iff 3x = y-4 \iff x = \tfrac13 y - \tfrac43$$

y eso es ciertamente un número real si $x$ es, así que hemos terminado.

Answer 3

Supongamos por el contrario que algún número real $r$ no era a su imagen y semejanza.

Pero $x = \frac{r-4}{3}$ es igual a ese número $r$ .

Answer 4

Para demostrar la subjetividad, razonemos como sigue:

Supongamos que $f(x)$ es un número arbitrario $y$ . ¿Existe una $x$ Puedo conectarme a $f$ que producirá ese número $y$ ?

En su caso, esto equivale a resolver $y=3x+4$ para $x$ que mostrará que la respuesta es sí.

Desde $y$ era un número arbitrario, ha demostrado que cualquier número real será alcanzado por $f$ , lo que significa que es sobreyectiva.