Si $\,f(z)=\exp((z+1)/(z-1))\,$ entonces todos los puntos singulares de $1/(f(z)-a)$ son polos simples

Question

He aquí una pregunta de un antiguo examen eliminatorio.

Sea $f(z)=e^{\frac{z+1}{z-1}}$ .

1. Demuestra que $f$ mapea el disco de la unidad $D$ en el disco unitario.(Puedo demostrarlo usando propiedades de la LFT.

2. Sea $0 <|a|<1$ . Demostrar que todos los puntos singulares aislados de $\frac{1}{f(z)-a}$ en el disco unitario son polos simples. Enumera los polos explícitamente.

Sé que esto mapea el disco unitario en un disco exterior, pero ¿cómo se muestra que tenemos polos simples.

¿Alguna sugerencia o comentario?

Answer 1

Aquí tienes un boceto. Hazme saber si esto es lo que estás buscando.

Los polos pueden hallarse resolviendo

$$ \frac{z+1}{z-1} = 2n\pi i + \log a $$

para $z$ donde $\log a$ es cualquier valor fijo del logaritmo. Encontrarás una solución única $z = z_n$ para cada $n$ y se pueden trasladar al origen dejando que $w = z-z_n$ . A continuación, puede reescribir su función como

$$ g(w) = f(w+z_n) = \left(a e^{\zeta_n w + O(w^2)}-a\right)^{-1} = (a\zeta_n w)^{-1}\Bigl(1+O(w)\Bigr) $$

como $w \to 0$ para algunos $\zeta_n = \zeta_n(a) \in \mathbb{C}$ .