¿Cómo probar que un conjunto compacto en un espacio topológico de Hausdorff está cerrado?

Question

¿Cómo probar que un conjunto compacto$K$ en un espacio topológico de Hausdorff$\mathbb{X}$ está cerrado? Busco una prueba que sea lo más autónoma posible.

Gracias.

Answer 1

Arreglar$x\in\mathbb{X}\setminus K$. Dado que$\mathbb{X}$ es Hausdorff, para cada$y\in K$ hay conjuntos abiertos separados$U_y$ y$V_y$, de manera que$x\in U_y$ y$y\in V_y$. $\{V_y:y\in K\}$ es una cubierta abierta de$K$, por lo que tiene una subcapa finita, por ejemplo,$\{V_y:y\in F\}$, donde$F$ es un subconjunto finito de$K$. Permitir que $$U=\bigcap_{x\in F}U_x\;;$$ clearly $U$ is an open nbhd of $x$ disjoint from $K$. Since $x$ was an arbitrary point of $\ mathbb {X} \ setminus K$, $K$ debe estar cerrado

Answer 2

Una prueba "secuencial": Deje que$x_\alpha \in K$ sea un neto con límite$x \in \mathbb{X}$. Por la compacidad de$K$, existe una subred$x_{\alpha_{\beta}}$ que converge en$K$. Deje que$y \in K$ denote su límite. Dado que es una subred de$x_\alpha$, se sigue que también$x_\alpha \to y$. Dado que$\mathbb{X}$ es Hausdorff, las redes tienen límites únicos, por lo que$y=x$ y en particular$x \in K$.