¿Cómo se puede demostrar que$\sqrt[3]{\left ( \frac{a^4+b^4}{a+b} \right )^{a+b}} \geq a^ab^b$,$a,b\in\mathbb{N^{*}}$?

Question

¿Cómo se puede demostrar que$\sqrt[3]{\left ( \frac{a^4+b^4}{a+b} \right )^{a+b}} \geq a^ab^b$,$a,b\in\mathbb{N^{*}}$?

Answer 1

Desde $\log(x)$ es cóncava, $$ \log\left(\frac{ax+by}{a+b}\right)\ge\frac{a\log(x)+b\log(y)}{a+b}\etiqueta{1} $$ Reordenación de las $(1)$ y exponentiating rendimientos $$ \left(\frac{ax+by}{a+b}\right)^{a+b}\ge x^ay^b\etiqueta{2} $$ Conectar $x=a^3$ $y=b^3$ a $(2)$ da $$ \left(\frac{a^4+b^4}{a+b}\right)^{a+b}\ge^{3a}b^{3b}\etiqueta{3} $$ y $(3)$ es el cubo de los postulados de la desigualdad.

A partir de mi comentario (y no el uso de la concavidad):

Para $0<t<1$, el mínimo de $t+(1-t)u-u^{1-t}$ se produce cuando $(1-t)-(1-t)u^{-t}=0$; es decir, cuando $u=1$. Por lo tanto, $t+(1-t)u-u^{1-t}\ge0$. Si establecemos $u=\frac{y}{x}$$t=\frac{a}{a+b}$, obtenemos $$ \frac{ax+by}{a+b}\ge x^{a/(a+b)}y^{b/(a+b)}\etiqueta{4} $$ La desigualdad de $(2)$ es simplemente $(4)$ elevado a la $a+b$ de la energía.

Answer 2

Esto se está expandiendo en un comentario de Bill, lo siguiente podría funcionar:

Necesitas

PS

O

PS

Ahora, si recuerdo bien, la desigualdad de Jensen para el registro dice:

PS

Por lo tanto, sólo necesitas mostrar

PS

O

PS

EDITAR Después de un cálculo largo, esto se reduce a

PS

o

PS

Después de cancelar$$ (a+b)\ln\sqrt[3]{(\frac{a^4+b^4}{a+b})} \geq a \ln(a) + b \ln(b) \,.$, esto sigue inmediatamente de AM-GM .:$$ (\ln\sqrt[3]{(\frac{a^4+b^4}{a+b})} \geq \frac{a}{a+b} \ln(a) + \frac{b}{a+b} \ln(b) \,.$ y$$\frac{a}{a+b} \ln(a) + \frac{b}{a+b} \ln(b) \leq \ln (\frac{a^2+b^2}{a+b}) \,.$

Answer 3

Aquí hay una prueba mucho más elemental:

PS

Uso de la desigualdad AM-GM con$$a^{3a}b^{3b}=a^3a^3 \cdot... a^3 b^3b^3 \cdot ....b^3 \,.$ y$x_1=...=x_a=a^3$ rendimientos

PS

Así

PS

Answer 4

Con$p=a/(a+b)$ y$q=b/(a+b)$ puede usar la homogeneidad para obtener

$$ \begin{align} &&(a^4+b^4)^{a+b}&\ge (a+b)^{a+b}a^{3a}b^{3b} \\&\Leftrightarrow& (a^4+b^4)&\ge (a+b)a^{3p}b^{3q} \\ &\Leftrightarrow &p^4+q^4&\ge p^{3p}q^{3q}\\ & \Leftrightarrow & \sqrt[3]{p \cdot p^3 + q \cdot q^3} &\ge p^p q^q, \end {align} $$

que es exactamente la desigualdad de la media ponderada entre la media cúbica y la media geométrica de$p$ y$q$ con pesos$p$ y$q$.

(Obviamente, las pruebas de la desigualdad media general son similares a las otras respuestas publicadas, pero no es necesario repetir la prueba para cada instancia).