La suma de 5 positivos de los números naturales, no necesariamente distintos, es de 186. Si se coloca adecuadamente en los vértices de la gráfica a continuación, dos de ellos estarán unidos por una arista si y sólo si tienen un divisor común mayor que 1 (es decir, que no son primos relativos).
Lo que, en la no-orden decreciente, son los 5 números? La respuesta es única.
En la orden para que los bordes de existir por la plaza de la manera en que lo hacen, debe ser que los números en los cuadrados son de la forma $ab,ac,bd,cd$ para distintos números primos $a,b,c,d$ con posible exceso de poder o términos que se multiplican. Además, para que la suma total de hasta y el singleton para no compartir los bordes con la plaza, ninguno de $a,b,c,d$ puede ser igual a $2$. Esto es debido a que si uno de $a,b,c,d$ se $2$, entonces la suma de los cuadrados sería aún y tener el total de la suma que aún así también debe el singleton ser incluso.
Los dos más pequeños "bases" para la plaza, a continuación, debe ser $3\cdot 5, 3\cdot 7, 5\cdot 11, 7\cdot 11$ o $3\cdot 5, 5\cdot 7, 7\cdot 11, 11\cdot 3$ tener sumas $168$ $160$ respectivamente. Si cualquiera de estos había un adicional de factor primo más grande que la de $2$, por ejemplo en la segunda base si $3\cdot 5$ fue reemplazado por $3\cdot 3\cdot 5$, entonces la suma podría ser mayor que la suma deseada de $186$, así nos enteramos de que cada término en la base es un producto de dos impares, números primos o es un $2$ veces un producto de primos pequeños.
Además, la única prime que puede ser reemplazado de $3,5,7,11$, mientras que el mantenimiento de la suma de los cuadrados menos de $186$ sería el cambio de $11$$13$. Cualquier otro modificador hace que la suma demasiado grande.
Ahora, no tenemos muchos casos de la izquierda para comprobar. Si todos los términos de la plaza son impares, entonces el singleton debe ser de la forma $2e$ $e$ coprime a $a,b,c,d$. En el fin de mantener el total de la suma de baja lo suficiente, debe ser un pequeño poder de $2$ o debe ser $13$ (o $11$ si $13$ se cambió a cabo). Nada más hace que la suma demasiado grande para cualquiera de base.
Alternativamente, si exactamente uno de los términos en el cuadrado es par, entonces el singleton debe ser de la forma $e$ $e$ $1$ o un primer distinto a $2,a,b,c,d$.
Como hay muy pocos casos a la izquierda para comprobar, por terminar con la fuerza bruta se puede llegar a la respuesta y confirmar que es único.
Factorizados $3\cdot 5, 5\cdot 7, 7\cdot 11, 11\cdot 3, 2\cdot 13$ o expandido son $15,35,77,33,26$
No podemos tener al menos tres números, porque entonces no sería un triángulo. Por lo tanto, tenemos cuatro números impares y uno par.
Ninguno de los números en el cuadrado puede ser un número primo, por lo demás los dos números es conectado dos tendría que el primer número como un divisor común, y comparten un borde.
Así, cada número en el cuadrado debe compartir un primer factor con un vecino, y otra es el primer factor con el otro, y ya que no comparten un borde con el tercero, los dos números tienen diferentes factores primos por completo, lo que significa que hay al menos cuatro impar primer factores que intervienen entre los cuatro números en el cuadrado.
Uno de ellos podría ser multiplicado por $2$, pero tal vez el singleton es el número ... bueno, vamos a ver lo que es posible:
Con los cuatro impares, números primos ser $3,5,7,11$, podríamos forma:
$3\cdot 5$, $3 \cdot 7$, $5 \cdot 11$, y $7 \cdot 11$ ... suma es $168$, por lo que el sobrante de número de $18$, que tiene el primer factor de $3$ ... no funciona.
Podemos tratar de multiplicar uno de los números por $2$, pero no va más de las $186$ que sólo puede ser hecho por $3 \cdot 5$, lo que significa una suma de $183$ con un sobrante de $5$ ... tampoco funciona.
$3 \cdot 5$, $5 \cdot 7$, $3 \cdot 11$, $7 \cdot 11$ ... suma es $160$, por lo que sobra es $26$ ... funciona!
Multiplicando $3 \cdot 5$ $2$ da de sobra $11$ .. no funciona
$3 \cdot 7$, $3 \cdot 11$, $5 \cdot 7$, $5 \cdot 11$ ... suma es $144$ ... de sobra $42$ ... no funciona
Multiplicando por $2$ da las sobras $21$, $9$, y $7$ ... ninguno funciona
Tomando nuestros cuatro impares primos como $3,5,7,13$:
$3\cdot 5$, $3 \cdot 7$, $5 \cdot 13$, $7 \cdot 13$ ... suma es $193$ ... demasiado alto
$3 \cdot 5$, $3 \cdot 13$, $5\cdot 7$, $7 \cdot 13$ ... suma $180$ ... de sobra $6$ ... no funciona
$3 \cdot 7$, $3 \cdot 13$, $5 \cdot 7$, $5 \cdot 13$ ... suma $160$ ... de sobra $26$ ... no funciona
multiplicando por $2$: sólo $3 \cdot 7$ posible, pero le da las sobras de $5$ no funciona.
Cualquier otra combinación de los cuatro impares primos le da suma por encima de $186$.
Así: solo hay una combinación posible: el cuadrado es $15, 33, 77, 35$, y el singleton es $26$
Una búsqueda en Mathematica encuentra y confirma:
$\{ 33, 77, 35, 15, 26 \}$
mylist = Select[
DeleteDuplicates /@
Select[IntegerPartitions[186, {5}], ContainsNone[#, {1}] &],
Length[#] == 5 &];
fulllist = Flatten[Permutations /@ mylist, 1];
Select[fulllist, (GCD[#[[1]], #[[2]]] > 1 &&
GCD[#[[2]], #[[3]]] > 1 &&
GCD[#[[3]], #[[4]]] > 1 &&
GCD[#[[4]], #[[1]]] > 1 &&
GCD[#[[1]], #[[3]]] ==
GCD[#[[2]], #[[4]]] ==
GCD[#[[1]], #[[5]]] ==
GCD[#[[2]], #[[5]]] ==
GCD[#[[3]], #[[5]]] ==
GCD[#[[4]], #[[5]]] == 1) &]
Este es, ciertamente, un código ineficiente. Puede acelerarse incorporando el hecho de que el vértice aislado es par y los otros son impares; evitando sobre-probar rotaciones de los cuatro números impares, etc.
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