Encontrar la función de la serie de Fourier

Question

Planteamiento del problema:

Supongamos que la serie de Fourier de una función desconocida $f(x)$ es

$$ \sum ^{\infty} _{n=1} \frac{\sin(nx)}{n}. $$

Encuentre la función $f(x)$ al que pertenece.

Intento de solución:

Lo primero que hice fue trazar para $x \in (-\pi, \pi)$ para $n = \{1, 2, \ldots, 10\}$ .

De ello se desprende que hay una caída en torno a $x = -0.5$ y luego un aumento alrededor de $x = -0.2$ o algo así.

Como nos dan una serie sinusoidal de Fourier sabemos que la función $f(x)$ es una función impar y por lo tanto $a_n = 0$ . Por lo tanto, sabemos que $f(x)$ puede escribirse como

$$ f(t) = \sum ^{\infty}_{n=1} b_n\sin \left(\frac{n\pi t}{L}\right). $$

Comparando la ecuación anterior con la serie dada al principio del problema vemos inmediatamente que $L = \pi$ y $b_n = \frac1n$ . Por lo tanto, buscamos una función $f(x)$ lo que hace que se cumpla lo siguiente:

$$ b_n = \frac1L \int^L _{-L}f(t)\sin \left(\frac{n \pi t} {L} \right)dt = \frac1n. $$ Sustituyendo $L = \pi$ obtenemos

$$ \frac{1}{\pi} \left( \int ^{0} _{-\pi} f(t) \sin (nt)dt + \int ^{\pi} _0 f(t) \sin (nt)dt\right) = \frac1n $$

Nuestra función $f(x)$ debe, por tanto, cumplir la siguiente integral:

$$ \int ^{0} _{-\pi} f(t) \sin (nt)dt + \int ^{\pi} _0 f(t) \sin (nt)dt = \frac{\pi}{n}. $$

Aquí es donde me quedo atascado ya que no estoy seguro de la validez de mis pasos anteriores. Agradecería un empujón en la dirección correcta.

Answer 1

Tu gráfica es una aproximación a la función que buscas. Parece que en el intervalo $[0,\pi]$ la función $f$ disminuye linealmente desde algún valor inicial positivo hasta $0$ . Por lo tanto, le sugiero que pruebe la función $$g(x):=\pi-x\qquad(0< x\leq\pi)\ ,$$ ampliarlo impar y $2\pi$ -periódicamente a todos los ${\mathbb R}$ y ver qué pasa.