Deje que $1\leq m\leq n$ sean enteros positivos. Apreciaré cualquier ayuda que pruebe la siguiente identidad $$ \ sum_ {k = n} ^ {n + m} (- 1) ^ k \ binom {k-1} {n-1} \ binom {n} {km} = 0 $$ Gracias!
Respuesta
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Aquí tenemos Chu-Vandermonde de la Identidad en el disfraz.
Obtenemos para $1\leq m\leq n$ \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=n}^{n+m}}&\color{blue}{(-1)^k\binom{k-1}{n-1}\binom{n}{k-m}}\\ &=\sum_{k=0}^m(-1)^{k+n}\binom{n+k-1}{n-1}\binom{n}{k+n-m}\tag{1}\\ &=\sum_{k=0}^m(-1)^{k+n}\binom{n+k-1}{k}\binom{n}{m-k}\tag{2}\\ &=(-1)^n\sum_{k=0}^m\binom{-n}{k}\binom{n}{m-k}\tag{3}\\ &=(-1)^n\binom{0}{m}\tag{4}\\ &\,\,\color{blue}{=0} \end{align*}
Comentario:
En (1) nos cambio el índice de comenzar con $k=0$.
En (2) se aplica el binomio identidad $\binom{p}{q}=\binom{p}{p-q}$ dos veces.
En (3) se aplica el binomio identidad $\binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{q}(-1)^q$.
En (4) finalmente aplicamos el Chu-Vandermonde de identidad.
