Todo espacio vectorial tiene el concepto de "dirección" en la forma de clases de equivalencia de vectores: Dos vectores no nulos apuntan en la misma dirección si son linealmente dependientes. Las instrucciones son entonces las clases de equivalencia de vectores no nulos. Vamos a llamarlos "proyectivas de las direcciones", porque esas clases de equivalencia son exactamente cómo el proyectiva del espacio construido.
Sin embargo, con esta definición, un vector que apunta en la misma dirección que su negativa, que no es bastante lo que comúnmente se considera a "la misma dirección".
Para ir más allá, necesitamos un espacio vectorial sobre un pedido de campo (como los números racionales, o los números reales). Entonces, podemos refinar la definición a decir que dos vectores apuntan en la misma dirección si son positivos múltiples de cada uno de los otros. De nuevo, las instrucciones son las clases de equivalencia de vectores. Dos de estos existen para cada proyectiva dirección, correspondiente a un vector y de su negativa. Llamamos a la dirección de $-v$ el opuesto de la dirección de $v$.
Sin embargo, nuestro direcciones todavía son independientes uno del otro, excepto por el concepto de dirección opuesta. Para ir un poco más allá, podemos asumir un espacio vectorial topológico, y mirar a la función que se asigna a cada vector a su dirección. Entonces podemos definir una topología en las instrucciones declarando simplemente que un conjunto de instrucciones está abierto iff la preimagen de este conjunto en el marco del mencionado función está abierto. Esto implica que el mapa de un vector a, su dirección es continua. En particular, si una secuencia de vectores converge a un vector específico, a continuación, la secuencia de sus direcciones converge al límite del vector de dirección. Esto claramente es una propiedad deseable.
Creo que este topológica del espacio de direcciones de los partidos de la mejor intuitivo concepto de "dirección", cuando no la introducción de ángulos. En particular, consideramos el valor exacto de los conceptos de "misma dirección" y "dirección opuesta", y "cerca de las direcciones" en el mismo sentido que "cerca de puntos" en general topológica del espacio.
Si desea definir un conjunto de direcciones sin hacer referencia a un espacio vectorial, las propiedades que puede formalizarse de la siguiente manera:
Una dirección de espacio topológico, espacio, junto con una continua bijection "opuesto", sin punto fijo, cuya composición se da la identidad de la función.
