¿Es correcta la siguiente identidad? $e^1 = \int_0^1 (1 + nx^n) e^{x^n} dx\, , \forall n$

Question

Yo estaba tratando de resolver la siguiente integral definida

$$ \int_0^1 e^{x^n}\,dx\, , $$

para el límite en que $n\rightarrow\infty$. Me dirigí al llevar a cabo la integración por partes:

$$ \int_0^1 e^{x^n}\,dx = xe^{x^n} \bigg\rvert^1_0 - \int^1_0 nx^ne^{x^n}\,dx\\ \Rightarrow e^1 = \int_0^1 (1+nx^n) e^{x^n}\,dx, \forall n $$

Me sorprendió que mi trabajo parecía mostrar que esta afirmación es cierta para todos los valores de $n$. Es allí cualquier error cometido en la derivación de esta identidad?

Answer 1

$$\int \big[f(x)+xf'(x)\big]dx = xf(x)$ $ donde $f(x)=e^{x^n}$

De modo que $$\int (1 + nx^n) e^{x^n} dx=e^{x^n}\,, \forall n$ $ que puede calcularse de acuerdo con cualquier límite.

Entonces, ¡lo que has hecho es correcto para todos los $n$ !