¿Motivación de la conservación del volumen del espaciotiempo por la transformación de Lorentz?

Question

Mi forma favorita de derivar la transformación de Lorentz es partir de los principios de simetría (un enfoque originado en Ignatowsky 1911; cf. Pal 2003), y uno de mis pasos es demostrar un lema que establece que la transformación de Lorentz tiene que preservar el volumen en el espaciotiempo, es decir, en lenguaje elegante, tiene que tener un determinante jacobiano de 1. Mi prueba visual del lema (para 1+1 dimensiones) se da en el enlace anterior, en una figura y su leyenda.

Intuitivamente, la idea detrás de la prueba es que sería una tontería que un aumento pudiera, digamos, duplicar el área, ya que entonces ¿qué haría un aumento en la dirección opuesta? Si va a deshacer el primer aumento, tiene que reducir el área a la mitad, pero entonces estaríamos violando la simetría de paridad. Sin embargo, la prueba real es un poco más complicada que esto. Si una prueba rigurosa pudiera ser así de sencilla, me daría por satisfecho y diría que el resultado es tan simple y obvio que deberíamos darlo por terminado. Pero, de hecho, si quieres hacerlo bien, se vuelve un poco más complicado, como se muestra en el enlace donde doy la prueba real. Una forma de ver que el argumento intuitivo que he dado aquí arriba no es suficiente es que parece requerir que el área en el $x$ - $y$ avión sea conservado bajo un impulso en el $x$ dirección, y eso no es cierto.

Esto es diferente del enfoque basado en la axiomatización de Einstein de 1905. En ese enfoque, se deriva la transformación de Lorentz y luego se demuestra el jacobiano unitario como una idea tardía.

Aunque mi prueba del jacobiano unitario a partir de los principios de simetría funciona, siempre he pensado que debe haber alguna razón más profunda o una mejor interpretación física de este hecho. ¿La hay?

Takeuchi 2010 dice en la p. 92:

Esta conservación del área del espaciotiempo mantiene la simetría entre [...] fotogramas, ya que cada uno se mueve exactamente a la misma velocidad cuando se observa desde el otro fotograma, y asegura que la correspondencia entre los puntos de los dos diagramas es uno a uno."

Esto me parece claramente erróneo, ya que se pueden tener funciones uno a uno que no preservan el área. (Takeuchi está escribiendo para un público de estudiantes de artes liberales).

Mermin tiene una pedagogía muy geométrica que ha perfeccionado a lo largo de los años para un público similar, e interpreta los intervalos espacio-temporales como áreas de "rectángulos de luz" (Mermin 1998). Dado que utiliza la axiomatización de Einstein de 1905, la conservación del área, que equivale a la conservación de los intervalos espacio-temporales, aparece como una idea tardía.

Una cosa que me fastidia es que la propiedad de preservación del área se mantiene para la relatividad galileana (y mi demostración de la misma se mantiene en el caso galileano sin modificaciones). Así que cualquier interpretación, como la de los rectángulos de luz de Mermin, que apele específicamente a algo de la RS parece insatisfactoria. La noción de área aquí es realmente la afín, no la métrica. (En la relatividad galileana ni siquiera tenemos una métrica).

Otra forma de llegar a esto es que si se empieza con un cuadrado en el $x$ - $t$ plano y aplicar una transformación de Lorentz, se convierte en un paralelogramo, y los factores por los que cambian las dos diagonales son los desplazamientos Doppler hacia delante y hacia atrás. La conservación del área se deduce entonces del hecho de que estos desplazamientos Doppler deben ser inversos entre sí.

Laurent 2012 es una presentación inusual de SR sin coordenadas. Él interpreta $\epsilon_{abcd}U^aB^bC^cD^d$ como un volumen 3 medido por un observador cuyo vector de velocidad normalizado es $U$ . Restricción a 1+1 dimensiones, $\epsilon_{ab}U^aB^b$ es la longitud del vector $B$ según este observador. Pone el ejemplo de asociar un volumen afín con el número de desintegraciones radiactivas en ese volumen. Las implicaciones de esto son vagas para mí.

¿Cuál es la mejor manera de interpretar la conservación del volumen del espaciotiempo por la transformación de Lorentz?

Por favor, no responda con respuestas que parten de la forma conocida de la transformación de Lorentz y calculan que el determinante jacobiano es 1. Sé cómo hacer eso, y no es lo que me interesa.

W.v. Ignatowsky, Phys. Zeits. 11 (1911) 972

Bertel Laurent, Introducción al espaciotiempo: un primer curso de relatividad

Mermin, "Space-time intervals as light rectangles", Amer. J. Phys. 66 (1998), nº 12, 1077; las ideas pueden encontrarse en los enlaces de http://people.ccmr.cornell.edu/~mermin/homepage/ndm.html , esp. http://www.ccmr.cornell.edu/~mermin/homepage/minkowski.pdf

Palash B. Pal, "Nada más que relatividad". http://arxiv.org/abs/physics/0302045v1

Takeuchi, Guía ilustrada de la relatividad

Answer 1

En primer lugar, hay que distinguir las pruebas matemáticas de las "pruebas" físicas. En realidad, no se pueden demostrar rigurosamente las afirmaciones sobre el mundo real con el mismo nivel de rigor que se tiene en matemáticas.

La unimodularidad (jacobiano = 1 o -1, para coincidir con las definiciones habituales del adjetivo) de las transformaciones de Lorentz es trivial de demostrar en matemáticas, sea cual sea la definición de las transformaciones de Lorentz que adoptemos.

Otra cosa es la "prueba" de que la transformación responsable del cambio de marco en la física es unimodular. Dicha "prueba" tiene que aceptar algunos supuestos físicos que, en última instancia, se justifican empíricamente.

La "prueba" habitual es sencilla y la has esbozado al principio.

En el espacio vacío, la transformación $B$ (impulso) de un observador en reposo a un observador en movimiento por la velocidad $v$ en el $z$ está dada por $$ (t,x,y,z)\mapsto (t',x',y',z')$$ Debido a la simetría temporal y espacial, este mapa tiene que ser lineal (con un posible desplazamiento, es decir, un término no homogéneo, generalizando las transformaciones de Lorentz a Poincaré). Como es lineal, su jacobiano es constante, por lo que es una función de valor numérico de $v$ .

Utilizando la simetría rotacional, se puede escribir $$ B(-v) = R_\pi B(v) R_\pi $$ En palabras, el impulso por la velocidad opuesta se puede obtener girando el sistema por $\pi$ alrededor de, por ejemplo $x$ -eje, potenciándolo en $+v$ y girando hacia atrás. El jacobiano es un determinante, por lo que para la transformación del producto anterior, es sólo el producto de los determinantes y los determinantes para las rotaciones son uno (también se podría haber utilizado la paridad para que los signos de estos dos determinantes se cancelen también, pero he optado por evitar las transformaciones con determinantes negativos).

De ello se desprende que $$\det B(-v) = \det B(v)$$ es decir, el determinante es una función par de $v$ . Al mismo tiempo, el impulso de $-v$ no es otra cosa que la transformación que vuelve al marco original, es decir $$B(-v) = B(v)^{-1}$$ que también significa (en combinación con la identidad anterior, para eliminar $\det B(-v)$ ) $$\det B(v) = \det B(v)^{-1}$$ y el determinante es por tanto $\pm 1$ . Porque es $1$ para $v=0$ (identidad) y es una función continua, debemos tener $\det B(v)=1$ para todos $v$ .