Resolución de pde no lineal$z_x z_y = \frac{x^2 z^3}{y}$

Question

resolver no lineal de la pde $$z_x z_y = \frac{x^2 z^3}{y}$$

Por ensayo supuse $$z = kx^p y^q$$, que en poner en la ecuación y la comparación de poderes se tendrá : $k = pq$, $p = -3$ e $q = 0$, esto es trivial solución de $z = 0$, pero esto no es lo que se buscaba

Es allí cualquier manera de proceder en caso de no lineal de la pde?

Answer 1

Solución

La ecuación diferencial parcial para ser resuelto por $z(x,y)$ es

$$\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x^2}{y} z^3\tag{1}$$

Como no existen las condiciones de contorno dadas entendemos que el problema que se presente un particular no trivial solución.

Aquí está una solución

$$z(x,y)=\frac{1}{\left(q+\frac{p x^3}{3}+\frac{\log (y)}{4 p}\right)^2}\tag{2}$$

donde $p$ e $q$ son arbitrarias parámetros en una "razonable" de la gama.

$(2)$ puede ser verificado por cálculo directo. Pero preferimos mostrar una heurística camino para encontrar en la sección siguiente.

Derivación

Para empezar, tratamos de simplificar la r.h.s. $z^3$ por el ansatz $z=u^a$ que después de la inserción de este en $(1)$ da $a=-2$ como fue señalado por Claude Leibovici en su solución.

El resultado de la PDE se convierte en

$$ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x^2}{4 y}\tag{2}$$

Observe que el r.h.s. es independiente de $u$.

Luego giramos a que el factor de las variables independientes $\frac{x^2}{y}$. Esto lleva a considerar la posibilidad de una dependencia de $u$ en el formulario

$$u(x,y) = v(x^3, \log_y)= v(r,s)\tag{3}$$

con $r=x^3$, $s=\log(y)$.

La inserción de $(3)$ a $(2)$ da

$$3 x^2 \left(\frac{\partial}{\partial r} v(r,s)\right) \left( \frac{1}{y}\frac{\partial }{\partial s} v(r,s)\right)=\frac{x^2}{4 y}$$

o

$$\left(\frac{\partial }{\partial r} v(r,s)\right) \left( \frac{\partial }{\partial s} v(r,s)\right)=\frac{1}{12}\tag{4}$$

Tenga en cuenta que ahora la r.h.s. es una simple constante.

De intentar una solución en la forma de una suma

$$v(r,s) = A(r) + B(s)$$

da después de volver a insertar

$$z = \frac{1}{\left(q+\frac{a x^3}{3}+\frac{\log (y)}{4 a}\right)^2}$$

Esta es la solución particular $(2)$.

Answer 2

Insinuación

Como te habrás dado cuenta, tu elección no fue la mejor.

Por analogía con el caso de una dimensión, vamos a $z=\frac 1 {u^2}$ que, después de la simplificación, dará $$ u_x u_y=\frac {x^2}{4y} $ $ que es mucho más agradable.