Comprensión de la definición de "mapas adecuados" en Topología diferencial por Guillemin y Pollack

Question

Estoy tratando de entender un pedazo de definición en Topología Diferencial por Gullemin y Pllack (GP). Antes de introducir el concepto de "incorporación", GP da la siguiente definición (página 17):

Un mapa de $f:X\to Y$ es llamada correcto si el peimage de cada conjunto compacto en $Y$ es compacto en $X$. Intuitivamente, un buen mapa es aquella que asigna puntos "casi infinito" en $X$ a los puntos de "casi infinito" en $Y$.

No entiendo la "intuición" de la parte: ¿qué significa realmente (matemáticamente) y cómo se relaciona con la definición adecuada de los mapas?

Answer 1

Deje $f:X\to Y$ ser una función continua entre Hausdorff espacios topológicos. Consideremos el punto de Alexandroff compactifications $\overline{X}=X\cup\{\infty\}$ e $\overline{Y}=Y\cup\{\infty\}$. A continuación, $f$ se extiende a una función continua $\overline{f}:\overline{X}\to \overline{Y}$ tal que $\overline{f}(\infty)=\infty$ si y sólo si $f$ es adecuado.

Answer 2

Compacto conjuntos acotados en espacios métricos. Suponiendo que nuestra intuición de un conjunto compacto en un espacio topológico es algo que no es muy grande y tenemos algún tipo de control sobre su tamaño en comparación a nuestro espacio, la definición de un adecuado mapa dice que la preimagen de un conjunto compacto, es decir, algo que no es muy grande, debe ser algo que no es muy grande así.

En un contrapositivo sentido, intuitivamente, que es como decir que si algo es muy grande que su tamaño va de las manos, es decir, lo suficientemente grande como para acercarse hasta el infinito, en algún sentido, a continuación, debe ser asignada a algo que es muy grande así, es decir, "casi infinito".