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Question

Encontrar $A, B \in M_2(\mathbb {Q})$ , de modo que $A^2+2B^2=\begin{pmatrix} 4& - 4\\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ and $AB+BA=\begin{pmatrix}3 & - 3\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.
Mi trabajo hasta el momento : $(A +\sqrt 2 B) ^2=A^2+2B^2+\sqrt 2 (AB+BA)$.
Después de tomar determinantes tenemos que $\det (A +\sqrt 2 B)=0$ y esto implica que $Tr A\cdot Tr B=Tr(AB)$e $\det A=-2\det B$. Aquí estoy atascado.
Edit: Se puede obtener de manera similar que $\det(A-\sqrt 2 B) =0$ y esto implica que $\det A=\det B=0$ , y creo que ahora tenemos la facilidad de encontrar los rastros y, a continuación, acaba de sustituir de nuevo en las ecuaciones.

Answer 1

Si denotamos $v=(1,1)$, entonces las condiciones dadas implica que $$\ker (A+\sqrt 2B)^2 =\ker(A-\sqrt 2B)^2=\text{span}\{v\}.$$ Thus $\Pm \sqrt{2}B$ are non-invertible matrices, which are not $O$, y de ello se sigue que $$\ker(A\pm \sqrt{2}B)=\text{span}\{v\}$$ desde $$(0)< \ker(A\pm \sqrt{2}B) \le \ker (A\pm \sqrt 2B)^2=\text{span}\{v\}.$$ This implies that $Av=Vb=0$, so both $a,B$ son no invertible.

Denotar $\alpha =\text{tr}(A)$ e $\beta=\text{tr}(B)$. A continuación, Caley-Hamilton teorema implica que $$A^2=\alpha, \ \ B^2=\beta B$$ thus giving $^2+2B^2=\alpha+2\beta B\ (*)$. Take trace to $(*)$, then we get $\alpha^2+2\beta^2=6$. By squaring $(*)$obtenemos $$\alpha^3A+4\beta^3B+2\alpha\beta(AB+BA)=\left(\begin{array}{cc}24& -24\\-12&12\end{array}\right)$$ y tomando traza de nuevo, de la siguiente manera $$\alpha^4+4\beta^4+8\alpha\beta=36=(\alpha^2+2\beta^2)^2=\alpha^4+4\beta^4+4\alpha^2\beta^2.$$ Note that $\alpha\beta=0$ or $\alpha\beta=2$. But $\alpha\beta=0$ would imply $\alpha^2=6$ or $\beta^2=3$, which is absurd since $\alpha,\beta\en \Bbb P$. So, $\alpha\beta$ is $2$, and $(\alpha+\sqrt 2\beta)^2=6+4\sqrt 2=(2+\sqrt 2)^2$ shows that $(\alpha,\beta)=\pm(2,1)$. Note that if $(A,B)$ is a solution for $(\alpha,\beta)=(2,1)$, then $(-A,-B)$ is a solution for $(\alpha,\beta)=(-2,-1)$.

Ahora, suponga $\alpha=2,\beta =1$ y observar que $$A^2+2B^2=2(a+B)=\left(\begin{array}{cc}4& -4\\-2&2\end{array}\right).$$ Squaring $A+B$da $$A^2+B^2+AB+AB + AB=2A+B+\left(\begin{array}{cc}3& -3\\-1&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& -6\\-3&3\end{array}\right).$$ By solving the equations simultaneously we finally obtain the solution for $(\alpha,\beta)=(2,1)$: $$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\-1&1\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\0&0\end{array}\right).$$ For the case where $(\alpha,\beta)=(-2,-1)$, put $-$ signs to the above $a,B$. Estas son las únicas soluciones para las ecuaciones.