Encontrar el ángulo en un cuadrilátero

Question

Esta es la imagen, y estamos apuntando al ángulo $x$

Es fácil ver que $\angle DGA = \angle CGB = 100°$ , $\angle CGD = \angle AGB = 80°$ , $\angle CBG = 50°$ , pero ahora me falta $\angle GBA = ?$ y $\angle GAB = x$

¿Alguna pista?

Answer 1

Por ley de los senos obtenemos: $$\frac{BG}{GD}=\frac{\frac{BG}{AG}}{\frac{GD}{AG}}=\frac{\sin{x}}{\sin(100^{\circ}-x)}.$$ En otra mano, $$\frac{BG}{GD}=\frac{\frac{BG}{CG}}{\frac{GD}{CG}}=\frac{\frac{\sin30^{\circ}}{\sin50^{\circ}}}{\frac{\sin70^{\circ}}{\sin30^{\circ}}}=\frac{1}{4\sin50^{\circ}\sin70^{\circ}},$$ que da $$\frac{\sin{x}}{\sin(100^{\circ}-x)}=\frac{1}{4\sin50^{\circ}\sin70^{\circ}}$$ o $$\sin100^{\circ}\cot{x}-\cos100^{\circ}=4\sin50^{\circ}\sin70^{\circ}$$ o $$\cot{x}=\frac{\cos100^{\circ}+4\sin50^{\circ}\sin70^{\circ}}{\sin100^{\circ}},$$ que da $x=20^{\circ}.$

Sí, es cierto, $$\cot{x}-\cot20^{\circ}=\frac{\cos100^{\circ}+4\sin50^{\circ}\sin70^{\circ}}{\sin100^{\circ}}-\cot20^{\circ}=$$ $$=\frac{\cos100^{\circ}+2(\cos20^{\circ}-\cos120^{\circ})}{\cos10^{\circ}}-\frac{\cos20^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=$$ $$=\frac{2\sin10^{\circ}(\cos100^{\circ}+2\cos20^{\circ}+1)-\cos20^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=$$ $$=\frac{2\sin10^{\circ}(\cos40^{\circ}+\cos20^{\circ}+1)-\cos20^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=$$ $$=\frac{\sin50^{\circ}-\sin30^{\circ}+\sin30^{\circ}-\sin10^{\circ}+2\sin10^{\circ}-\cos20^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=$$ $$=\frac{\sin50^{\circ}+\sin10^{\circ}-\cos20^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=0$$ ¡y hemos terminado!

Answer 2

Dejemos que $y$ denotan el ángulo $\angle GBA$ . Por la ley de los senos aplicada a los cuatro triángulos con vértice $G$ obtenemos las relaciones $$\frac{AB}{\sin 80^\circ}=\frac{BG}{\sin x}=\frac{AG}{\sin y}.$$ $$\frac{AD}{\sin 100^\circ}=\frac{AG}{\sin 40^\circ}=\frac{DG}{\sin 40^\circ},$$ $$\frac{BC}{\sin 100^\circ}=\frac{BG}{\sin 30^\circ}=\frac{CG}{\sin 50^\circ},$$ $$\frac{CD}{\sin 50^\circ}=\frac{DG}{\sin 70^\circ}=\frac{CG}{\sin 30^\circ}.$$ Dividiendo la cuarta ecuación por la tercera, obtenemos (anulando $CG$ ) $$\frac{\sin^2 30^\circ}{\sin 50^\circ\sin 70^\circ}=\frac{BG}{DG}.$$ Ahora, a partir del segundo, obtenemos que $DG=AG$ Así que $$\frac{\sin^2 30^\circ}{\sin 50^\circ\sin 70^\circ}=\frac{BG}{AG}.$$ Ahora, aplicamos la ley de los cosenos para obtener $$AB^2=BG^2+AG^2-2BG\cdot AG \cos 80^\circ$$ Por lo tanto, por la primera ecuación que dimos por la ley de los senos $$\frac{1}{\sin^2x} =\frac{1}{\sin^2 80^\circ}\frac{AB^2}{BG^2}=\frac{1}{\sin^2 80^\circ}\left(1+\frac{AG^2}{BG^2}-2\frac{AG}{BG} \cos 80^\circ\right)=\frac{1}{\sin^2 80^\circ}\left(1+\left(\frac{\sin 50^\circ\sin 70^\circ}{\sin^2 30^\circ}\right)^2-2\frac{\sin 50^\circ\sin 70^\circ}{\sin^2 30^\circ} \cos 80^\circ\right)$$ Fácilmente se puede comprobar que $x=20^\circ$ .