Simetría en los circuitos de resistencias

Question

Dados 6 puntos que se conectan entre sí con una resistencia de resistencia $R$ , hallar la resistencia entre dos puntos cualesquiera . (Respuesta: $R/3$ )

(Todos los hilos conductores tienen la misma resistencia $R$ .)

Sé que tal formulación implica inmediatamente que estos 6 puntos son absolutamente idénticos, lo que permite aplicar argumentos de simetría que ayudarán a reducir el grafo a uno más simple.

Es decir, después de elegir dos puntos cualesquiera de la red, los cuatro puntos restantes seguirán siendo idénticos, por lo que podemos intercambiar cualquiera de ellos y la red seguirá siendo la misma. Así, podemos eliminar las resistencias que están conectadas entre estos otros cuatro puntos, ya que los puntos son idénticos.

Sin embargo, podemos también intercambiar los dos puntos elegidos, y el sistema seguirá siendo el mismo. Entonces, ¿por qué no podemos eliminar también la resistencia entre los dos puntos elegidos?

Me han contado la siguiente analogía: El sistema de estos 6 puntos es como un sistema de 6 bolas absolutamente similares pintadas, digamos, de blanco. Al elegir dos puntos, los pintamos de negro, con lo que el sistema pierde algún nivel de simetría, pero sus determinados elementos siguen siendo simétricos bajo ciertos reordenamientos.

En concreto, se pueden intercambiar dos bolas blancas cualesquiera sin cambiar el sistema de ninguna manera, por lo que todas las bolas blancas son idénticas y podemos ignorar cualquier resistencia entre ellas. Pero al intercambiar las dos negro Las bolas siguen sin cambiar el sistema, así que ¿por qué no podemos seguir la misma lógica e ignorar también la resistencia entre ellas?

Voy a generalizar un poco la pregunta: ¿por qué no nos importan otras simetrías del sistema?

(Busco una explicación simple, sin involucrar matemáticas avanzadas, ya que soy un principiante autodidacta y sólo estoy familiarizado con el cálculo. Así que trato de evitar las matrices y todo lo avanzado que los estudiantes aprenden en los cursos avanzados de electrónica. Sólo quiero que se entienda la idea y el concepto en sí).

Answer 1

Si no me equivoco, su charla será para nuestra conferencia dentro de unas semanas. Puedo contarle un poco sobre el público de primer año: La mayoría de ellos no están bien familiarizados con las matemáticas y pocos entenderán realmente su verdadero poder - incluyéndome a mí. Quizá los de segundo año que hayan hecho el curso de análisis riguroso puedan apreciar más lo que vas a hablar.

La mayoría de los estudiantes, al menos los de primer año, están haciendo el curso estándar de cálculo/álgebra lineal que se ofrece. Creo que en este momento no han visto cómo el análisis y el álgebra lineal se unen maravillosamente y quizás tu charla puede basarse en mostrar cómo se unen diferentes campos de las matemáticas (en este momento la mayoría de los estudiantes -al menos en mi año- piensan que el análisis y el álgebra lineal no están relacionados en absoluto).

Para mí sugeriría una charla sobre geometría no euclidiana. Varias razones son:

$\textbf{(1)}$ Creo que a los estudiantes les fascinaría el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo sea de 180 grados, sólo para la geometría euclidiana. Además, ¿cómo no van a impresionar a nadie las llamadas superficies "curvas"? :D

$\textbf{(2)}$ Puedes mostrar un montón de bonitos cuadros de M. C. Escher (tiene un trabajo llamado "límite del círculo" que es el modelo de Poincaré de la geometría hiperbólica, se puede explicar por qué los "diablos" se hacen más pequeños hacia el borde) que puede fascinar a la gente - es mucho más fácil para la gente de este nivel imaginar la "belleza" como esta que explicar digamos lo que es el Teorema de Maschke. Esto último requeriría tener que explicar primero un montón de lenguaje técnico.

$\textbf{(3)}$ Los estudiantes de física entiendo que han aprendido al menos la relatividad especial. Puedes mencionar el espaciotiempo de Minkowski y cómo está relacionado con el modelo hiperboloide de la geometría hiperbólica. En particular, tal vez puedas relacionar esto con la razón por la que el producto interior utilizado en clase tiene firma $(1,1,1-1)$ .

$\textbf{(4)}$ Creo que se puede presentar un tema sobre esto esperando unos requisitos mínimos de la audiencia. Puedes echar un vistazo al libro de Needham mencionado anteriormente - hay un capítulo en él sobre la geometría hiperbólica. Las pruebas son claras y elegantes, muchas de ellas utilizando los llamados argumentos de simetría, como la demostración de por qué todo automorfismo del disco unitario con respecto a sí mismo tiene la forma $e^{i\theta}$ por alguna transformación lineal fraccionaria que no recuerdo.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Dado $N \ge 2$ nodos totalmente interconectados con $\frac{1}{2}N(N-1)$ resistencias de resistencia $R$ (es decir, cada dos nodos conectados entre sí con una resistencia $R$ ), la resistencia entre dos nodos cualesquiera es $\frac{2}{N}R$ .

Esto se deduce directamente de la asignación de una tensión " $+1$ " y " $-1$ " a los dos nodos considerados, lo que da lugar a la $N-2$ otros nodos (todos conectados directamente a los dos nodos considerados) que adquieren una tensión nula. Como no fluye corriente a través de las resistencias que conectan los nodos al mismo potencial, se pueden eliminar todas las resistencias no conectadas directamente a los dos nodos considerados.

En otras palabras: las únicas vías de conductancia que contribuyen son un único "salto" de resistencia $R$ y $N-2$ "saltos dobles" de resistencia $2R$ . La conductancia paralela total de todas estas vías combinadas es $\frac{1}{R} + \frac{N-2}{2R} \ = \frac{N}{2R}$ . El recíproco de esta cantidad es la resistencia efectiva entre los dos nodos.

Answer 3

Hay un buen argumento para este tipo de preguntas. La prueba se deriva de la linealidad del sistema. Así es como funciona:

1. Supongamos que introduzco la corriente $I$ de un nodo, y extraer $\frac{I}{5}$ de todos los demás nodos. Debido a la simetría, sé que exactamente $\frac{I}{5}$ fluirá a través de los cables(bordes) adyacentes.
2. Ahora estoy viendo otro nodo, asumo que introduzco $\frac{I}{5}$ corriente de todos los demás nodos y extraer $I$ de este. De nuevo usando la simetría, sé que exactamente $\frac{I}{5}$ fluirá a través de los cables conectados a ese nodo.
3. Consideremos ahora la superposición de estos dos casos. Estoy inyectando $\frac{6I}{5}$ de un nodo y extraer lo mismo del otro vértice. Ninguna corriente saldrá o entrará de otros nodos. También sabemos que la corriente que pasa por el cable que conecta estos dos nodos es exactamente $\frac{2I}{5}$ (se deduce de la linealidad).

Ergo utilizando la definición de resistencia equivalente y la diferencia de potencial entre estos dos nodos, tendremos:

$$I_{\text{total}}R_{\text{eqv}}=\frac{2I}{5}R \Rightarrow R_{\text{eqv}}=\frac{R}{3}$$

Answer 4

entonces, ¿por qué no podemos seguir la misma lógica y eliminar la resistencia entre los dos puntos elegidos?

OK, voy a abordar directamente su pregunta en parte . Específicamente, ¿por qué no podemos eliminar la resistencia entre los dos puntos elegidos?

La respuesta es una aplicación elemental de la Ley de Ohm. Elige dos nodos cualesquiera. Hay una resistencia que conecta directamente esos dos nodos.

(1) Coloca una fuente de tensión a través de los dos nodos. Ahora hay una tensión a través de la resistencia entre los dos nodos y, por tanto, por la Ley de Ohm, una corriente a través de esa resistencia .

(2) Esta corriente se suma a la corriente total que atraviesa la fuente de tensión.

(3) Si se quita la resistencia, se cambiar la corriente a través de la fuente de tensión y por lo tanto, cambias la resistencia vista por la fuente de voltaje .

Conclusión: no se puede eliminar la resistencia entre los nodos elegidos sin cambiar la resistencia equivalente entre esos nodos.

Claramente, hay un fallo en la lógica que te llevó a la conclusión de que la resistencia puede ser eliminado. Pero honestamente, la forma en que está escrita la lógica no está claro cuál es la lógica ni cómo te ha llevado a esa conclusión.