Inspirado en un vídeo de Black Pen Red Pen en Youtube donde se demuestra que $4^{2019}+2019^4$ no es primo utilizando la identidad de Sophie Germain, empecé a explorar cuándo los números de la forma $a^b+b^a;a,b\in\mathbb{N}$ son primos. Sin pérdida de generalidad, lo restrinjo a $a\leq b$ .
Es trivial ver que hay una infinidad de primos donde $a=1$ . Luego descubrí en la OEIS que los números de la forma $a^b+b^a;a,b\in\mathbb{N}\setminus1$ se denominan números de Leyland, y que la secuencia de primos de Leyland conocidos (además del 3) es la secuencia A094133 en OEIS, y se puede encontrar en el sitio web de Leyland en una tabla junto con los PRP de Leyland. http://www.leyland.vispa.com/numth/primes/xyyx.htm .
Lo que quería hacer es encontrar criterios que indiquen si un número de Leyland es primo o no. El primer criterio obvio que encontré es que si $GCD(a,b)=n>1$ entonces $a^b+b^a\equiv0 \mod n$ y por lo tanto $a,b$ debe ser coprima. El segundo criterio obvio era que $a+b$ debe ser impar, porque de lo contrario $a^b+b^a$ estaría en paz.
A continuación, procedí a explorar más a fondo para tratar de encontrar limitaciones sobre qué valores para $a$ nunca dará lugar a un primo de Leyland, y si hubiera algún valor de $a$ para el que un número primo o compuesto para $b$ siempre o nunca devolverá una prima Leyland.
Lo que he encontrado hasta ahora:
Para $a=2$ una condición necesaria para $a^b+b^a$ para ser primo es que $b\equiv3\mod 6$ porque si $b$ es incluso entonces $a^b+b^a$ también será par, y si $b$ es impar pero no divisible por 3, entonces $a^b+b^a$ será divisible por 3. Sin embargo, la condición de que $b\equiv3\mod 6$ no es suficiente para $a^b+b^a$ para ser un primo de Leyland, como por ejemplo $2^{27}+27^2=73\times521\times3529$ .
Para $a=4$ no hay primos de Leyland. Esto se puede demostrar, como para impar $b$ , $4^b+b^4$ es factorizable utilizando la identidad de Sophie Germain, y para incluso $b$ , $4^b+b^4$ está en paz.
Para $a=6$ No he encontrado ningún primo de Leyland, pero no puedo demostrar que no existan. Como $a,b$ debe ser coprima, obtenemos que $b$ debe ser impar pero no divisible por 3. Un criterio adicional es que $b$ debe ser divisible por 7, porque $6^b\equiv-1\mod7$ para cualquier impar $b$ y $b^6\equiv1\mod7$ para cualquier $b$ que no es divisible por 7. Por lo tanto, todo lo que queda es probar para $b\equiv7\mod42$ y $b\equiv35\mod42$ . Mirando la tabla de la página web de Leyland, no he encontrado ningún patrón que me sirva para demostrar que no hay tales primos de Leyland, aunque si existe alguno, debe ser con $b>7500$ o se ha colado en los cómputos.
Todos los demás números de una sola cifra producen al menos un primo de Leyland, pero no veo ningún patrón para determinar cuándo producirán o no primos de Leyland (aparte de los criterios triviales mencionados anteriormente).
¿Alguien tiene alguna idea sobre cómo determinar criterios más precisos para producir primos de Leyland?
