Función de transición en la esfera 2

Question

En este problema, consideramos $S^2$ con las coordenadas de los gráficos de $(U, \phi)$, e $(U', \phi')$, donde:

$$U = \{(x,y,z) \in S^2 : z < 0\} \quad \phi(x,y,z) = (x,y), \ \mathrm{and}$$ $$U'\ = \{(x,y,z) \in S^2 : x > 0\} \quad \phi'(x,y,z) = (y,z)$$

Mi pregunta explícitamente se refiere a la escritura de los conjuntos de $\phi(U \cap U')$, e $\phi'(U \cap U')$. Mi intento de escribir $\phi(U \cap U')$ es:

$$\phi(U \cap U') = \{(x,y) \in \mathbb{R^2} : x = \sqrt{1 - y^2 - z^2}\}$$

Este incorpora el hecho de que $x > 0$ e $(x,y,z) \in S^2$. Sin embargo, desde la $\phi$ gotas de la $z$ plazo, se siente inadecuado incluir un $z$ en la definición de $\phi(U \cap U')$, y esto hace que sea difícil de invertir $\phi$ cuando se calcula la función de transición. Estoy confundido en cuanto a cómo escribir la establece de forma explícita que hace que sea sencillo para el cálculo de la función de transición.

Answer 1

Creo que la confusión radica en que está suponiendo la imagen de $\phi(U\cap U^{\prime})$ ha de línea en $S^{2}$, cuando en realidad se encuentra en $\mathbb{R}^{2}$. Elaborar, voy a escribir $U_{x,+} = \{(x,y,z)\in S^{2} : x > 0 \}$ e $\phi_{x,+}(x,y,z) = (y,z)$ para las coordenadas del gráfico. Pero desde $\phi_{x,+}:U_{x,+} \rightarrow \phi_{x,+}(U_{x,+}) = V_{x,+}$, dicen que su inverso $\phi_{x,+}^{-1}:V_{x,+} \rightarrow U_{x,+}$ tiene su imagen se encuentran dentro de $U_{x,+} \subset S^{2}$, por lo que tomamos

$$ \phi_{x,+}^{-1}(y,z) = \bigg(\sqrt{1 - y^{2} z^{2}}, y, z\bigg) \U_{x,+} \subconjunto S^{2}. $$

Muy similar coordinar las funciones de la otra coordenada barrios tienen propiedades similares. En cuanto a tu pregunta, yo diría que la información acerca de $z$ es codificada de manera más sutil en la forma de la inversa de coordinar las funciones (tenga en cuenta que mientras que estas opciones de coordinar las funciones son generalmente de muchos-a-uno si el dominio se $\mathbb{R}^{3}$, el hecho de que es $S^{2}$ a continuación, les obliga a ser inyectiva.).

EDICIÓN Ulterior elaboración: me estoy basando esto en un ejemplo en Do Carmo 'Geometría de Riemann', en la página 21.

Las coordenadas de los gráficos se puede ver como las proyecciones ortogonales de a$S^{2}$ en algún subconjunto de $\mathbb{R}^{2}$, por ejemplo, $$ \phi_{x,+}(x,y,z) = (0,y,z) = (y,z) \in \mathbb{R}^{2}. $$ En el ambiente $\mathbb{R}^{3}$ sin embargo, dicen que después de la inclusión $(y,z) \mapsto (y,z,u)$ no sería, de hecho, dos puntos en $\mathbb{R}^{3}$ tal que $y^{2} + z^{2} + u^{2} = 1$, y, de hecho, hacer una opción de firmar nos remiten a un momento único en la $S^{2}$, por lo que el inverso del gráfico de la función podría ser, por ejemplo, $$ \phi_{z,-}^{-1}(u,v) = (u,v,-\sqrt{1-u^{2}-v^{2}}) \U_{z,-}. $$ La combinación de estas di $\phi_{x,+}(U_{x,+}\cap U_{z,-})\subset \mathbb{R}^{2}$, entonces: $$ \phi_{z,-}\circ \phi_{x,+}^{-1}(u,v) = \phi_{z,-}(\sqrt{1 - u^{2} - v^{2}},u,v) = (\sqrt{1 - u^{2} - v^{2}},u)\in \phi_{z,-}(U_{x,+}\cap U_{z,-}) $$