Quizá un buen marco (aunque restrictivo) para esta cuestión sea la teoría de modelos. Puesto que se trata de estructuras algebraicas, las consideraré como estructuras de primer orden formadas por un conjunto y operaciones y relaciones, aunque también podríamos incluir familias de subconjuntos.
Así que en este contexto restringido, considere $\mathcal{G}=(G,(f_{n,\alpha}),(r_{p,\gamma}))$ donde los términos $f_{n,\alpha}$ son funciones de aridad $n$ donde $\alpha$ rangos en un conjunto de índices $F_n$ y los términos $r_{p,\gamma}$ son relaciones de aridad $p$ donde $\gamma$ rangos en un conjunto de índices $R_p$ .
Todos los teoremas de $\mathcal{G}$ que son positivo y conjuntivo es decir, que se puede escribir en el lenguaje de primer orden (con igualdad) en $\left\langle f_{n,\alpha},r_{p,\gamma} \right\rangle$ sin utilizar los símbolos de negación, disyunción e implicación, son válidos en el siguiente levantamiento natural de la estructura sobre $G^S$ :
- para $n \in \mathbb{N}$ , $\alpha \in F_n$ y $\varphi_1,...,\varphi_n: S \rightarrow G$ , $f_{n,\alpha}(\varphi_1,...,\varphi_n)(s):=f_{n,\alpha}(\varphi_1(s),...,\varphi_n(s))$ .
- para $p\in \mathbb{N}$ , $\alpha \in R_p$ y $\psi_1,...,\psi_p: S \rightarrow G$ , defina $r_{p,\gamma}[\psi_1,...,\psi_p]$ para que sea válida en $G^S$ si para todo $s \in S$ la fórmula $r_{p,\gamma}[\psi_1(s),...,\psi_p(s)]$ es válido en $\mathcal{G}$ .
Para verlo, se procede por inducción sobre las longitudes de las fórmulas. Como ejemplo, si se quiere demostrar que el teorema conjuntivo $\forall x \exists y(r_2[f_2(y,x),f_1(y)] \wedge f_2(x)=y)$ de $\mathcal{G}$ es válido en $G^S$ , entonces considere una función $\varphi: S \rightarrow G$ y, a continuación, dado $s \in S$ , elija (con el axioma de elección) un elmento $\psi(s) \in G$ con $r_2[f_2(\psi(s),\varphi(s),f_1(\psi(s))]$ y $f_2(\varphi(s))=\psi(s)$ y observe que $\exists y(r_2[f_2(y,\varphi),f_1(y)] \wedge f_2(\varphi)=y)$ es válido en $G^S$ .
Obsérvese que la estructura de orden superior de $\mathcal{G}$ (por ejemplo, que sea finito, un grupo simple, un anillo noetheriano, etc.) no tiene por qué llevarse a $G^S$ aunque pueda enunciarse de forma aparentemente no disyuntiva. Además, este resultado no es óptimo, ya que, por ejemplo, el axioma $\exists x(r_{1,0}[x] \vee r_{1,1}[x])$ se lleva a $G^S$ aunque no tenga razón de ser equivalente a un enunciado conjuntivo en $\mathcal{G}$ . Pero parece ser una buena heurística en los casos comunes.
Por ejemplo, los axiomas de los grupos y los anillos son positivos y conjuntivos, mientras que los axiomas de los campos y los conjuntos parcialmente ordenados no lo son, y en los elementos disyuntivos de las teorías correspondientes se pueden construir fácilmente contraejemplos.
Dado que las teorías con sólo enunciados conjuntivos positivos son bastante raras, existen métodos en la teoría de modelos para poder seguir levantando la estructura utilizando funciones.
El más común es el método de ultrafiltración donde tomamos un cociente de $G^S$ definido mediante un ultrafiltro en $S$ matando así muchas funciones (y todas menos las constantes si el ultrafiltro es principal).
Un método intermedio es el cociente matando menos funciones, siempre que la estructura teórica del modelo esté ya lo suficientemente domesticada como para poder matar todas las indeterminaciones restantes. Este es el caso si $\mathcal{G}$ es mínimo (Ej: $(\mathbb{N},x \mapsto n+1)$ y $(\mathbb{C},+,\times)$ ) entonces se puede tomar un cociente utilizando el filtro de subconjuntos cofinitos de $S$ . También es el caso si $\mathcal{G}$ es o-minimal (Ej: $(\mathbb{R},+,\times,<)$ ): entonces se puede utilizar el filtro de vecindades de $+\infty$ en $S$ . No conozco ningún otro ejemplo importante.
