¿Un derivado débil de$f$ siempre es un derivado clásico de algún$g$?

Question

Deje $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ ser abierto, $p \in [1,\infty]$, $\alpha$ ser un multi-índice de con $n$ entradas. Si $v,w\in L^p(\Omega)$ llamamos a $w$ a los débiles-$\alpha$-derivado de la $v$si $$ \forall \varphi \en C_0^\infty (\Omega): \quad \int_\Omega w(x)\varphi(x) dx = (-1)^{|\alpha|} \int_\Omega v(x) \partial^\alpha\varphi(x) dx $$ Ahora, en muchos casos, tenemos que, si $w$ es la clásica derivado $\partial^\alpha v$ casi en todas partes, también lo es para los débiles-$\alpha$-derivado de la $v$.

Mi pregunta ahora es: ¿lo contrario? I. e. si $w$ es el débil-$\alpha$-derivado de la $v$, podemos elegir otros representantes de la $v',w'$ cuales son equivalentes a $v,w$ resp. y un Lebesgue-medida-ajuste a cero de la $Z\subseteq \Omega$ tal que $w'|_{\Omega\backslash Z}$ es la clásica derivado $\partial^\alpha (v'|_{\Omega \backslash Z})$?

Answer 1

Es cierto para $n=1$. En este caso, $W^{1,p}$ es el espacio de la $p$-absolutamente funciones continuas, y estos son diferenciables una.e., lo que es incluso más fuerte que su requisito. Para mayor derivados usted puede simplemente repetir.

Puede fallar por $n>1$ (de curso de Sobolev de la incrustación de los teoremas de asegurarse de que sigue true si la función tiene bastante débil derivados). Deje $\Omega$ ser acotado, $(q_k)$ un subconjunto denso de $\Omega$ y $$u(x)=\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}\log\log(1+\|x-q_k\|^{-1}).$$ Este límite existe en $W^{1,n}(\Omega)$ y está en ninguna parte localmente (esencialmente) delimitado. En particular, cualquiera que sea representante de $u$ y de conjunto null $Z$ que usted elija, siempre hay un conjunto $\Omega'$ de plena medida tal que para todos los $x\in \Omega'$ existe una secuencia $(x_j)$ en $\Omega\setminus Z$ que converge a $x$ y satisface $|u(x_j)|\to \infty$. Por lo tanto $u|_{\Omega\setminus Z}$ es discontinuo para cada conjunto null $Z$.