Uso de los números complejos en estadística

Question

Hace poco, un amigo mío, que es ingeniero eléctrico, me preguntó si los números complejos se utilizaban en estadística. Aparte de las aplicaciones estadísticas en otros campos (por ejemplo, la mecánica cuántica) y además de algunas funciones características, no pude identificar muchas de la cabeza. Tengo curiosidad por saber si alguien más puede identificar usos de los números complejos en estadística, fuera de las aplicaciones en otros campos.

Answer 1

Hay dos grandes clases de uso de los números complejos en estadística, una es cuando el problema subyacente utiliza números complejos (lo que lleva a variables aleatorias complejas), y la otra es cuando las herramientas que utilizan números complejos se usan para describir problemas estadísticos que implican sólo variables aleatorias reales. (Dejaré de lado teorías de la probabilidad que utilizan probabilidades complejas - estos son bastante locos y nunca he podido verles la utilidad).

Problemas con variables aleatorias complejas: Los números complejos surgen en estadística siempre que se trata de un problema subyacente en el que las variables aleatorias de interés son los propios números complejos (es decir, variables aleatorias complejas ). Estas aplicaciones suelen surgir en el contexto de problemas de ingeniería y física en los que se utilizan números complejos para describir algún fenómeno de interés, y deseamos añadir aleatoriedad a la descripción de dicho fenómeno. En particular, suelen surgir en el contexto de tratar con el movimiento circular que se describe mediante números complejos, o en los circuitos eléctricos. Ya existe una importante literatura estadística en este campo, que incluye resultados para las versiones complejas de las variables aleatorias normales, etc. (para una visión general, véase por ejemplo Eriksson et al 2009 , Eriksson et al 2010 ). (Nota: Dado que su amigo es ingeniero eléctrico, podría valer la pena indicarle varios trabajos publicados en el IEEE que tratan de variables aleatorias complejas. Éstas se utilizan a menudo en trabajos de ingeniería eléctrica cuando el analista desea añadir aleatoriedad a algún aspecto de un problema eléctrico subyacente que utiliza números complejos).

Otro ejemplo común de este tipo de situación es cuando se tienen polinomios con coeficientes reales generados aleatoriamente, donde la distribución de los coeficientes es continua. En este caso, aunque las variables aleatorias iniciales son reales, esto da lugar a raíces complejas del polinomio, por lo que cuando se escribe el polinomio en su forma factorizada, esto implica variables aleatorias complejas (véase, por ejemplo, Shepp y Vanderbei 1995 , Ibragimov y Zeitouni 1997 , Kabluchko y Zaporozhets 2014 ). Se trata de un ejemplo sencillo en el que los objetos aleatorios que implican números reales dan lugar a variables aleatorias complejas.

Herramientas complejas para tratar variables aleatorias reales: El conjunto más común de herramientas estadísticas que tratan con variables aleatorias reales, pero que utilizan números complejos, son herramientas que son aplicaciones de la Transformación de Fourier a diversos problemas estadísticos. Esto incluye la función característica utilizada para describir una distribución en el espacio de Fourier, los periodogramas en el espacio de la frecuencia utilizados para identificar las frecuencias de la señal en el análisis de series temporales, y las diversas densidades espectrales en el análisis de series temporales. Todos estos son ejemplos en los que una herramienta matemática estándar que utiliza números complejos se aplica en un problema de probabilidad en el que las variables aleatorias subyacentes son números reales. Estos métodos se utilizan a menudo en el análisis de series temporales, pero también aparecen a veces cuando se tratan problemas de probabilidad complicados que implican convoluciones. (De hecho, la prueba más sencilla del teorema central del límite utiliza la función característica de la distribución normal, por lo que implica el uso de números complejos).