Construcción de "ovoides"

Question

En mi país, los ejercicios obligatorios en los cursos de dibujo técnico son la construcción de "ovoides" ("ovoid" en inglés ? ). La definición de "ovoide" en wikipedia (traducido de wikipedia página en español , no existe ninguna en inglés) es:

El ovoide es una curva cerrada simétrica respecto a su eje cóncavo hacia él, y conformada por cuatro arcos de circunferencia: uno de ellos es una semicircunferencia y los otros dos son iguales y simétricos.

Parece que no es una definición concreta. Lo que entiendo es que un ovoide tiene:

1. Una semicircunferencia de cierto radio.
2. Uno de sus diámetros se denomina "eje menor". El diámetro perpendicular a él y prolongado por un lado hasta algún punto se llama "eje mayor"
3. Dos arcos de algún radio, con centros sobre la línea del eje menor, y tangentes a la semicircunferencia tocándola en los extremos del eje menor.
4. Un cuarto arco tangente a los dos anteriores y centrado en el eje mayor, pasando por su extremo.
5. PREGUNTA 1: ¿Algo más?

Los 3 problemas habituales son crear el ovoide dado:

• el eje mayor; o
• el eje menor; o
• ambos ejes

Hay muchas páginas web y vídeos que explican cómo hacerlo (busca "dibujo técnico ovoide"). Todos ellos explican los mismos tres métodos. Ver por ejemplo este o este (lo siento, no se ha encontrado ninguno en español). Aquí hay un sorteo que resume estos métodos:

Sin embargo, tratando de entender los métodos:

• parece contradictorio que si un ovoide está definido y se puede construir dado sólo su eje mayor, también sea posible construirlo dado ambos ejes. Deben existir varias soluciones para el primer caso que permitan añadir una segunda restricción.
• los parámetros libres del sorteo parecen ser 3 radios y una distancia entre los centros (PREGUNTA 2: ¿es cierta esta afirmación?). Eso da infinitas soluciones para cada uno de los tres problemas (PREGUNTA 3: ¿es cierta esta afirmación?).

Hay cientos de páginas explicando los mismos tres métodos, pero no se ha encontrado ninguna que aclare estas dudas.

(Me pregunto si estamos ante una de estas cosas que se repiten década tras década en la escuela sin ninguna crítica).

Answer 1

Hay cuatro parámetros en la construcción: el eje mayor $M$ del ovoide, el radio $r$ del semicírculo superior, el radio $R$ de los arcos centrales, el radio $\rho$ del arco inferior. Sin embargo, estos están relacionados, por lo que terminamos con tres parámetros libres.

Para encontrar la relación entre ellos, dejemos $\alpha$ sea el ángulo central de los arcos centrales y $M$ el eje mayor del ovoide. Tenemos entonces: $$ M=r+(R-r)\tan\alpha+\rho. $$ Pero por otro lado: $$ R-\rho={R-r\over\cos\alpha}. $$ Eliminación de $\alpha$ obtenemos entonces la relación $$ M=r+\rho+\sqrt{2Rr-r^2-2R\rho+\rho^2}. $$ Se puede invertir esto, para obtener una expresión para $\rho$ : $$ \rho={M^2+2r^2-2Rr-2Mr\over2(M-R-r)}. $$

Supongo que las construcciones que mencionas utilizan otros supuestos "estéticos" implícitos.

Por supuesto, la solución anterior funciona siempre que la expresión para $\rho$ da un resultado positivo: se trata de una restricción sobre los posibles valores de $M$ , $R$ y $r$ .

Answer 2

La figura tiene tres grados de libertad (como los tres radios). Si se imponen los dos ejes, queda un DOF.

Pero en muchas figuras que veo, la apertura del arco pequeño es un ángulo recto. Si esto es así, sólo hay 2 DOFs.

Answer 3

Su problema ha sido tres grados de libertad y demuestro que este número se basa en una suposición de suavidad que aporta una restricción explicable a todas estas construcciones.

Lo muestro en una primera parte.

En una segunda parte, doy una opinión personal al cuestionamiento de tu última frase y al interés por repetir ad libitum viejas técnicas.

1) Respuesta científica : La restricción de suavidad oculta se da en la Fig. 1. Se basa en el siguiente hecho :

Si dos arcos circulares centrados en $C_1, C_2$ se yuxtaponen, constituyen una "curva suave" (sin punto angular) si y sólo si $C_1, C_2$ están alineados con el punto de conexión $M$ .

La prueba es sencilla: en efecto, la tangente en un punto $M$ en un círculo centrado en $O$ es ortogonal al radio $OM$ .

Fig. 1 : Restricción de suavidad en el punto de conexión $M$ : $C_1, C_2, M$ debe estar alineado. (Tenga en cuenta que en nuestra edición, el segundo tipo de conexión que da un punto de inflexión no se produce).

Tomemos como referencia su tercera figura. La construcción general de un óvalo se puede describir de la siguiente manera, estando dado un sistema de ejes ortogonales centrado en $O_1$ :

• Elegir (primer grado de libertad) un punto $T_2$ en el eje horizontal y su punto de simetría $T_3$ para que $T_2T_3$ es el diámetro del semicírculo superior.

• A continuación, elija, de nuevo en el eje horizontal un centro $O_2$ (2º grado de libertad) fuera del segmento de línea abierta $(T_2T_3)$ .

• Por último, dibuja en el cuarto cuadrante un arco de círculo centrado en $O_2$ a partir de $T_3$ con punto final $T_4$ donde quieras (siempre que el arco permanezca en el cuarto cuadrante) : este es el 3er grado de libertad.

No hay más grados de libertad. De hecho, el último arco circular (inferior) :

a) su centro $O_4$ tiene que estar en la intersección de la línea $O_2T_4$ con el eje vertical. ¿Por qué? Porque la restricción de suavidad que hemos visto hacia arriba impone la alineación para $O_2,O_4,T_4$ .

b) su radio debe ser $O_4T_4$ .

Observaciones : por supuesto, se completa el dibujo simetrizando el segundo arco con respecto al eje vertical. En particular, se puede comprobar que la conexión de los arcos circulares en $T_3$ es suave porque $O_1, O_2$ y $T_3$ están alineados.

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Además, hay varias construcciones similares (esto podría interpretarse a favor de lo que dices: ¿por qué hay que aprender esta técnica en lugar de esta otra?)

He aquí dos de ellas (Fig. 2): se trata de construcciones de "óvalos" que son curvas primas de "ovoides" (con 2 ejes de simetría, y bastante cercanas a las elipses). Estas construcciones han sido publicadas por primera vez por Serlio (un arquitecto italiano activo a mediados del siglo XVI; véase la referencia más abajo). Una característica común a sus ovoides es que se obtienen conectando de forma suave cuatro arcos circulares.

Fig. 1 : Construcciones de Serlio : En la figura de la izquierda, los arcos centrados en $A$ y $B$ con los respectivos radios $d/2$ y $d$ donde $d$ es la diagonal de los cuadrados (los otros dos arcos son simétricos a éstos) ; en la figura de la derecha, los dos primeros arcos están centrados en C y D con radios resp. $s$ y $2s$ donde $s$ es la longitud lateral de los pequeños triángulos equiláteros. Ambas figuras se basan en formas "puras" (en el "sentido platónico"): cuadrados a la izquierda, triángulos equiláteros a la derecha.

2) Una opinión personal sobre la repetición de técnicas antiguas

Tengo una actitud mitigada hacia el aprendizaje en cualquier dominio empezando por "copiar las antigüedades". Creo que el interés de haber conocido fuertemente las técnicas antiguas depende mucho de las artes (en un sentido amplio de la palabra) : sí creo que en la música, la arquitectura, la pintura, el dibujo, repetir los antiguos maestros y sus técnicas es necesario, pero no hasta el hartazgo, más aún, el asco... En el "arte de aprender" las matemáticas, en particular la geometría, es bastante buena idea dedicar un tiempo a los clásicos, a través de la historia de las matemáticas, pero también un poco de dibujo técnico. También hay un beneficio algorítmico (haz eso precisamente, luego eso precisamente, luego...) que es bueno y resulta atractivo para los alumnos ("¡Papá, hoy hemos aprendido a hacer una división larga!"). Pero hay una etapa en la que las explicaciones deben pasar a primer plano. Si tienes 18 años y toda la enseñanza que recibes es repetir como un loro una lista de técnicas sin que se discutan, caes en el escolastismo. Como profesor, he sido testigo de esa enseñanza esclerótica ; recuerdo haber preguntado a algunos antiguos colegas "¿por qué seguimos enseñando eso?" ; respuesta : "porque es fácil hacer preguntas de examen sobre este tema...".

Una excelente referencia para Serlio es :

https://pdfs.semanticscholar.org/148a/d9806fee3d1009cc72e4807c9d7aa01fac4b.pdf

(discutiendo el contexto histórico pero también detalles técnicos como el grado de similitud con las elipses que tienen los mismos ejes mayores y menores). Véase también :

http://faculty.evansville.edu/ck6/ellipse.pdf