¿Justificación rigurosa de los supuestos no relativistas de la teoría de perturbaciones QM?

Question

En la teoría de perturbaciones de la mecánica cuántica no relativista, se parte de un Hamiltoniano de la forma $$H=H_0+\lambda H'$$ y supongamos que los estados y valores propios perturbados pueden escribirse como series de potencias en $\lambda$ :

$$\left|\psi_n\right>=\left|\psi_n^0\right>+\lambda\left|\psi_n^1\right>+\lambda^2\left|\psi_n^2\right>+\dots;$$

$$E_n=E_n^0+\lambda E_n^1+\lambda^2 E_n^2+\dots.$$

Luego se introducen estas expansiones en la ecuación de valores propios, $H\left|\psi\right>=\lambda\left|\psi\right>$ y fijar los coeficientes de potencias similares de $\lambda$ iguales entre sí.

Surgen al menos tres preocupaciones:

1. ¿Por qué está justificado suponer que estas expansiones de Taylor existen, es decir, que tienen radios de convergencia distintos de cero?

2. ¿Por qué se justifica que Taylor amplíe $\left|\psi\right>$ ya que se trata de un vector abstracto en el espacio de Hilbert y no de una función escalar?

3. ¿Por qué está justificado fijar como coeficientes de $\lambda$ ¿iguales entre sí?

Para el nº 3, he visto algunos argumentos matemáticamente precisos de por qué, si $P(x)=Q(x)$ para todos $x$ donde $P$ et $Q$ son polinomios finitos, entonces sus coeficientes deben ser iguales. Pero ahora tenemos series de Taylor infinitas, así como coeficientes de $\lambda$ que no son escalares sino vectores abstractos en un espacio de Hilbert de dimensión infinita, ¿sigue siendo obvio que podemos hacerlo?

EDIT: Para aclarar la pregunta 1, por "convergencia" no se entiende sólo la convergencia en absoluto pero aún más fuerte: la convergencia al valor correcto . Existen funciones no analíticas, como $f(x) = \{0$ si $x=0, e^{-1/x^2}$ de lo contrario $\}$ que tienen expansiones de Taylor que convergen (a algún valor) en todas partes, pero a la correcto en el único punto de expansión (en cero, en este ejemplo).

Answer 1

1. Por definición de un espacio de Hilbert, cualquier elemento de un espacio de Hilbert puede representarse como una suma $\sum_n c_n \lvert \psi_n\rangle$ con la secuencia $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ siendo sumable al cuadrado y el $\lvert \psi_n\rangle$ siendo normalizados y ortogonales. Por lo tanto, si $\lambda$ es lo suficientemente pequeña como para que la secuencia $(\lambda^n)_{n\in\mathbb{N}}$ es sumable al cuadrado, entonces estas series convergen. Esta serie es una serie geométrica y converge si y sólo si $\lambda < 1$ .

   Sin embargo, no hay ninguna razón genérica para que los vectores que aparecen en la expansión perturbativa sean ortogonales, y tampoco se puede esperar que la serie converja genéricamente. Un argumento que suele atribuirse a Dyson dice, por ejemplo, que la serie perturbativa estándar de las teorías cuánticas de campos en interacción en términos de la constante de acoplamiento $\lambda$ nunca puede converger en torno a $\lambda = 0$ porque la teoría es inestable para $\lambda < 0$ (ya que no tiene estado fundamental y produciría infinitas partículas a partir del vacío). Muchas series perturbativas que no son convergentes en este sentido son sin embargo asintótica alrededor de pequeñas $\lambda$ .

   Por su propia naturaleza, las expansiones perturbativas no pueden captar los efectos no perturbativos, donde "no perturbativo" es básicamente sinónimo de "no captado por la serie de Taylor". Famosamente, por ejemplo instanton no son perturbativos. La serie perturbativa hace no captan necesariamente toda la física implicada.

2. El teorema de Taylor es válido en espacios de Banach arbitrarios. este resultado de búsqueda aleatorio para "Series de Taylor en espacios de Banach". Un espacio de Hilbert es un espacio de Banach.

3. Una serie de potencias es nula en un subconjunto abierto si y sólo si todos sus coeficientes son nulos, cf. p.ej. este post de math.SE Este es también el fundamento de la holomorfía teorema de identidad . Por tanto, si dos series de potencias coinciden en un intervalo abierto de $\lambda$ (no sólo un punto), sus coeficientes son iguales.

Answer 2

En el oscilador anarmónico (perturbación cuártica) la serie no converge, aunque se puede demostrar que se mantiene asintóticamente como $\lambda \to 0$ . La razón es que para $\lambda \lt 0$ el Hamiltoniano es ilimitado por debajo por lo que el valor propio no existe.

Kato discute las perturbaciones en espacios de dimensión finita, donde se puede demostrar la convergencia. Esto puede extenderse a espacios de dimensión infinita y, en determinadas condiciones, a operadores no limitados.