¿Podrían los números primos ser definidos así?

Question

Jugando con los números primos, he encontrado la siguiente definición. Deje $p$ ser un número entero. A continuación, $p$ es un número primo si y sólo si hay algunos entero $b \neq 1$ tales que $$ \frac{b^p - 1}{b - 1} $$ es también un número primo.

Es fácil mostrar que la primalidad de $p$ es una condición necesaria para la primalidad de $(b^p - 1)/(b - 1)$. Sin embargo, estoy pegado a demostrar que, para un determinado $p$, siempre hay al menos un número primo de la forma $(b^p - 1)/(b - 1)$.

Es mi definición correcta, y si es así, cómo probar la segunda parte? Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

Este es probablemente imposible demostrar de manera incondicional, pero al menos es cierto suponiendo que el Bunyakovsky conjetura diciendo que cualquiera que no sea constante polinomio $P$ con coeficientes enteros toma infinitamente muchos primeros valores, siempre que

• el coeficiente inicial de $P$ es positivo;
• $P$ es irreductible;
• $\mathrm{gcd}\{P(z)\colon z\in\mathbb Z\}=1$.

Su afirmación de la siguiente manera fácilmente mediante la aplicación de la conjetura para el polinomio $P(x)=x^{p-1}+\dotsb+x+1$.