La suma de los dígitos de$a^b$ es igual a$ab$

Question

La siguiente conjetura es uno que he hecho hoy con la ayuda de software de computadora.

Conjetura:

Deje $s(\cdot)$ denotar la suma de los dígitos de $\cdot$ en base $10$. A continuación, el sólo valores enteros $a,b>1$ que satisfacer $$s(a^b)=ab$$ are $(2,2),(3,3),(3,6),(3,9)$ and $(3,27)$.

Observaciones:

• El número de dígitos de un número entero $n$ es $1+\lfloor\log_{10}n\rfloor$ donde $\lfloor\cdot\rfloor$ denota la función del suelo. Esto significa que $s(a^b)<9+9\lfloor b\log_{10} a\rfloor$ como cada dígito toma un valor de más de $9$. A partir de esta trama es evidente que la igualdad nunca se sostenga por $a\ge 9$, después de la comprobación de la primera $21$ valores de $b$. Por lo tanto, es suficiente con considerar el $2\le a\le 8$.

• He excluido el caso de $b=1$ como es trivial - obliga a $a$ a ser de un solo dígito entero.

• En PARI/GP el código está dado por mfun(b)={for(i=2,8,for(j=1,b,if(sumdigits(i^j,10)==i*j,print(i," ",j))));} y pruebas hasta $a\le 10^6$ comprobar lo anterior conjetura.

Los avances en esta se puede apreciar.

Answer 1

Me gusta el crack de números, pero esta vez me voy a pasar. Es muy poco probable de que existe alguna otra solución. He creado un par de parcelas de la función:

$$f(a)=s(a^b)-ab$$

...para $a=2,3,4,5,6,7,8$ e $b\in [1,4000]$. Todas estas parcelas tienen el mismo aspecto. La función se desliza hacia el infinito negativo en una relación bastante lineal, con muy poca variación de la línea recta. Si usted acepta apuestas, puedo apostar en una casa, que no hay otras soluciones, excepto los pequeños que ya enumerados.

$a=2$

$a=3$

$a=4$

$a=5$

$a=6$

$a=7$

$a=8$