$Q(x)$ es un polinomio mónico con coeficientes enteros de grado $12$ tal que existe un polinomio entero $P(x)$ Satisfaciendo a $Q(x)P(x)=Q(x^2)$

Question

$Q(x)$ es un polinomio mónico con coeficientes enteros de grado $12$ tal que existe un polinomio entero $P(x)$ Satisfaciendo a $Q(x)P(x)=Q(x^2)$ . Encuentra el número de todos los polinomios de este tipo $Q(x)$ .

La idea que se me ocurrió fue considerar $Q(x)=x^{12}+a_1 x^{11}+\dots+a_0$ . Obtenemos $Q(x^2)$ y luego utilizar la división sintética para encontrar $P(x)$ . Ahora la única restricción sería que los coeficientes de $P(x)$ deben ser enteros.

Pero este método es bastante tedioso y todavía no he podido encontrar $Q(x)$ . Por favor, ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $r$ es una raíz de $Q(x)$ o $P(x)$ también debe ser una raíz de $Q(x^2)$ que dice que $r^2$ también es una raíz de $Q(x)$ . Además, de los $24$ raíces cuadradas del $12$ raíces de $Q(x)$ (por multiplicidad), la mitad son las raíces de $Q(x)$ y la mitad son las raíces de $P(x)$ . Esto reduce considerablemente las posibilidades.

EDITAR:

Consideremos un grafo dirigido con vértices el $24$ raíces (contadas por multiplicidad) de $P$ y $Q$ ; si la raíz $r$ no es $0$ o $1$ para que $r^2 \ne r$ un arco va desde $r$ a (una de las instancias de) $r^2$ . $12$ de los vértices que tienen grado interno $0$ están coloreados en rojo (corresponden a las raíces de $P$ ), el resto son azules.

Los únicos vértices terminales posibles tienen valores $0$ y $1$ . $0$ está aislado, mientras que $1$ tiene un grado interior $1$ correspondiente a $-1^2 = 1$ . Todos los demás vértices tienen grado interno $2$ correspondientes a sus dos raíces cuadradas.

Un vértice azul podría estar en un $k$ -ciclo, correspondiente a una raíz $r \ne 0,1$ con $r^{2^k} = r$ (y $r^{2^j} \ne r$ para $0 < j < k$ ). El polinomio mínimo de tal raíz debe ser un polinomio ciclotómico $\Phi_m(x)$ donde $m$ divide $2^k-1$ (y no $2^j-1$ para $0 < j < k$ ), y este polinomio ciclotómico debe dividir $Q(x)$ . Su grado es $\varphi(m)$ donde $\varphi$ es la función totiente de Euler.

Raíces $r$ que no están en un ciclo pero que son tales que $r^2$ está en un ciclo que corresponde al polinomio $\Phi_m(x)$ son raíces de $\Phi_m(x^2)/\Phi_m(x)$ . Raíces $r$ que son $k$ pasos eliminados de un ciclo son raíces de $\Phi_m(x^{2^k})/\Phi_m(x^{2^{k-1}})$ . No estoy seguro de que estos sean necesariamente irreductibles, por lo que podría tener sólo algunos de los factores en $Q(x)$ y los demás en $P(x)$ .

Los enteros de impar $m$ con $\varphi(m) \le 12$ son $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21$ que tienen $\varphi(m) = 1, 2, 4, 6, 6, 10, 12, 8, 12$ . Debería ser posible (pero un poco tedioso) elaborar todas las posibilidades.