¿dónde está $\frac{1}{1-z}$ sobre el punto $5i$ convergen.

Question

Hola: La siguiente pregunta en el texto de John D'Angelo es el ejercicio 4.8: ¿dónde está la serie para $\frac{1}{1-z}$ sobre el punto $5i$ ¿converger?

Tengo entendido que la ampliación es : $\sum_{n=0}^{\infty} (z - 5i)^{n}$ .

Ahora, para que la serie converja, $|z-5i|$ tiene que ser menor que 1 porque la serie es geométrica. Entonces, ¿es la respuesta? que $|z-5i|$ < 1$. Este ejercicio es posterior a otro que era mucho más difícil ( requería la convergencia de abel para la prueba de series complejas) por lo que estoy pensando que quizás no estoy en lo correcto. Gracias.

Answer 1

Quieres escribir

$${1\over 1-z}={1\over 1-5i-(z-5i)}$$

Entonces esto es sólo

$${1\over 1-5i}\left({1\over 1-{z-5i\over 1-5i}}\right)$$

Lo cual, por series geométricas, da instantáneamente

$${1\over 1-5i}\sum_n {(z-5i)^n\over (1-5i)^n}=\sum_n{(z-5i)^n\over (1-5i)^{n+1}}$$

y además sabemos que las series geométricas tienen convergencia si y sólo si la razón común, $r$ , ha $|r|<1$ es decir, para

$$\left|{z-5i\over 1-5i}\right|<1\iff |z-5i|<|1-5i|=\sqrt{26}$$

Answer 2

Como señaló Adam Hughes, la serie para $\frac1{1-z}$ sobre el punto $5i$ es $$ \begin{align} \frac1{1-z} &=\frac1{(1-5i)-(z-5i)}\\ &=\frac1{1-5i}\frac1{1-\color{#C00000}{\frac{z-5i}{1-5i}}}\\ &=\frac1{1-5i}\sum_{k=0}^\infty\left(\color{#C00000}{\frac{z-5i}{1-5i}}\right)^k\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(z-5i)^k}{(1-5i)^{k+1}} \end{align} $$ que converge por la prueba de proporción para $|z-5i|\lt|1-5i|=\sqrt{26}$ .

Otro indicador del radio de convergencia de la serie de Taylor es la distancia del centro de la expansión a la singularidad más cercana. Como la única singularidad está en $z=1$ el radio de convergencia es $$ |1-5i|=\sqrt{26} $$