El espectro de un anillo es irreducible si y sólo si el nilradical es primo (Atiyah-Macdonald, Ejercicio 1.19)

Question

¿Puede alguien ayudarme con este ejercicio, por favor?

Un espacio topológico $X$ se dice que es irreducible si $X\neq\emptyset$ y si cada par de conjuntos abiertos no vacíos en $X$ se intersecan, o, equivalentemente, si todo conjunto abierto no vacío es denso en $X$ . Demostrar que $\text{Spec}(A)$ es irreducible si y sólo si el nilradical de $A$ es un ideal primo.

Notación:

• $A$ es un anillo conmutativo con $1$ (no necesariamente $1\ne0$ )
• $\eta= \text{nilradical of $ A $ }= \bigcap\limits_{\mathscr{p}\text{ prime}}\mathscr{p}=\{a\in A:\text{$ a $ is nilpotent}\}$
• $\text{Spec}(A)=\{p\subset A:\text{$ p $ prime}\}$ y la topología es tal que $V(E)=\{p\subset A\text{ prime}:E\subset A\}$ es una base para conjuntos cerrados, para todo subconjunto $E\subset A$ (podemos demostrar que los complementarios de estos conjuntos forman una base de conjuntos abiertos)

Si el nilradical $\eta=\mathscr{p}$ es primo, entonces todo conjunto cerrado no vacío $V(E)$ satisfacer: " $p\in V(E)\implies V(E)=\text{Spec}(A)$ "(ya que todo primo contiene $\eta=p$ ), por lo que todo conjunto abierto no vacío contiene $p$ Así que $\text{Spec}(A)$ es irreducible.

Lo contrario es el problema...
Un ejercicio anterior demostró que existen ideales primos mínimos en todo anillo $A$ .

Supuse que $\eta$ no es un ideal primo, por lo que existen al menos dos ideales primos mínimos distintos. Por lo tanto, dejemos que $p$ sea un ideal primo mínimo y $E=\bigcap\{q\subset A:\text{$ q $ is prime minimal, $ q\ne p $}\}$ . Si hay un número finito de ideales primos mínimos (por ejemplo, si $A$ es noetheriano), entonces el complementario de $V(E)$ está contenida en $V(p)$ (ya que si una intersección finita de ideales primos está contenida en cualquier ideal $I$ entonces al menos uno de estos ideales primos está contenido en $I$ ), por lo tanto, $\text{Spec}(A)$ no es irreducible.
Pero este argumento parece no funcionar para los anillos generales...

Se agradecerá cualquier ayuda.
Gracias.

Answer 1

Creo que la definición de conjuntos abiertos de la irreducibilidad es más fácil de trabajar. Debería mostrar estos hechos útiles sobre $Spec(A)$ Los conjuntos: los conjuntos $D(f) = \{\mathfrak{p} \in Spec(A) : f \notin \mathfrak{p}\}$ forman una base de la topología del espectro, y $D(f) \cap D(g) = D(fg)$ . Entonces suponemos que $f \notin Nil(A)$ y $g \notin Nil(A)$ . Esto significa que $D(f)$ y $D(g)$ son entonces conjuntos abiertos no vacíos, por lo que si $Spec(A)$ es irreducible, su intersección $D(fg)$ es no vacía.

Answer 2

Suponemos que el nilradical no es primo y demostramos que $\operatorname{Spec} A$ es reducible.

Dejemos que $\mathcal{N}$ sea el nilradical de $A$ . Supongamos que $\mathcal{N}$ no es primo. Entonces existen elementos $a,b \in A$ tal que $a,b \not\in \mathcal{N}$ pero $ab \in \mathcal{N}$ . Recordemos que $\operatorname{Spec} A = V(\mathcal{N})$ y $\mathcal{N} = \bigcap_{P \in \operatorname{Spec} A} P$ . A continuación, defina los conjuntos $S_a = \left\{P \in \operatorname{Spec} A: \, a \in P \right\}$ y $S_b = \left\{P \in \operatorname{Spec} A: \, b \in P \right\}$ . Observe que $S_a$ no está vacío (en caso contrario $b \in \mathcal{N}$ ) y subconjunto propio de $\operatorname{Spec} A$ (por lo demás $a \in \mathcal{N}$ ). Del mismo modo, para $S_b$ . Escribir $\mathcal{N} = \left(\bigcap_{P \in S_a} P \right) \cap \left(\bigcap_{P \in S_a^c} P\right)$ tenemos que $\operatorname{Spec}A = V(\mathcal{N}) = V\left(\bigcap_{P \in S_a} P \right) \cup V\left(\bigcap_{P \in S_a^c} P \right)$ . Queda por demostrar que $V\left(\bigcap_{P \in S_a} P \right)$ y $V\left(\bigcap_{P \in S_a^c} P \right)$ son subconjuntos adecuados de $\operatorname{Spec}A$ . Supongamos que $\operatorname{Spec}A = V\left(\bigcap_{P \in S_a} P \right)$ . Escoge $P \in S_a^c$ entonces $P \in V\left(\bigcap_{P \in S_a} P \right)$ y así $a \in P$ contradicción. A continuación, supongamos $\operatorname{Spec}A = V\left(\bigcap_{P \in S_a^c} P \right)$ . Escoge $Q \in S_b^c$ . Entonces $Q \in V\left(\bigcap_{P \in S_a^c} P \right)$ . Pero esto es una contradicción, ya que $S_a^c \subset S_b$ y $b \in \bigcap_{P \in S_a^c} P$ .

Answer 3

Denotemos el nilradical por $N$ . $N= \cap P$ . Supongamos que N no es un ideal primo para X un espacio irreducible. Entonces deben existir a y b en A, tales que $a, b \not \in N$ pero $ab\in N$ . Entonces $ab \in P$ para todo ideal primo P en A.

Ahora considere $X_{a} \cap X_{b}$ que es no vacío, por la propiedad de espacio irreducible. Digamos algún ideal primo, $P_{k} \in X_{a} \cap X_{b}$ , $P_{k} \not \in (X_{a} \cap X_{b})^{c}= V(a) \cup V(b)$ . Esto significa que $P_{k}$ es un ideal primo que no contiene tanto a como b. Eso implica $ab \not \in P_{k}$ . Lo que a su vez demuestra $ab \not \in N$ .