Solución para esta ecuación logarítmica

Question

Recientemente estuve atravesando un problema del libro Problemas en Matemáticas - * V Govorov & P Dybov * . PS

Intenté resolver considerando primero$$(x-2)^{\log^2(x-2)+\log(x-2)^5-12}=10^2\log(x-2)$ como una variable, digamos$\log(x-2)$. Luego expresé$t$ como$(x-2)$. Luego, después de usar algunas propiedades de registro, llegué hasta aquí:$10^t$ $ o$$10^{t^3+5t^2-12t}=10^2t$ $ Ahora no tengo idea de cómo acercarme más. La respuesta en las referencias dice$$10^{t^3+5t^2-12t-2}=t$

Answer 1

Ecuaciones como $$f(t)=10^{t^3+5t^2-12t-2}-t=0$$ no se puede resolver utilizando métodos de análisis y métodos numéricos, tales como el de Newton, debe ser utilizado.

Como usted probablemente aviso, se busca el punto de intersección de dos curvas, es decir,$$y_1(t)=10^{t^3+5t^2-12t-2}$$ $$y_2(t)=t$$

Si se hace una gráfica de las funciones en el mismo gráfico, usted debe notar una clara intersección alrededor de $t=1.9$. También hay una raíz cerca de $t=0$, ya que alrededor de este valor, una expansión de Taylor da $$y_1(t)= \frac{1}{100}-\frac{3}{25} t \log (10)+O\left(t^2\right)$$ which has a negative slope while $y_2(t)$ has a positive slope. Using this expansion gives another estimate close to $$t=\frac{1}{4 (25+3 \log (10))} \simeq 0.00783509$$

Así que, vamos a definir la función general $$f(t)=10^{t^3+5t^2-12t-2}-t$$ and let us try to find its roots starting from a given estimate $t_0$. Newton procedure will update this guess accodring to $$t_{n+1}=t_n-\frac{f(t_n)}{f'(t_n)}$$ For the first solution, let us start at $t_0=0$; Newton iterates are then : $0.00783509$, $0.00801852$, $0.0080186$ cual es la solución para seis cifras significativas.

Para la segunda solución, vamos a empezar a $t_0=1.9$; Newton recorre luego son : $1.91187$, $1.90970$, $1.90959$ que es de nuevo la solución de seis cifras significativas.

Desde que, a partir de los cambios de la variable $x=2+10^t$, las soluciones son, a continuación, $x=3.01864$ $x=83.2064$ cuales son los valores dados por Tunococ.

Answer 2

Nota: Como se señaló en los comentarios de arriba, el registro utilizado aquí es el registro común (base 10) y la notación $\log^2$ es el doble de afirmar registro (no el cuadrado de registro).

En primer lugar, su ruta es correcta en la definición de las $t=\log(x-2)$. Pero la LHS, después de la sustitución no es del todo correcto: se Observa que el$10^{\log^2(x-2)}=\log(x-2)=t$$(10^t)^{t^2}=10^{t^3}$. Por lo tanto la correcta ecuación a resolver es $$t\cdot 10^{5t^2-12t}=10^2 t$$ This gives an immediate $t=0\implica x=3$ solution. The remainder are found from the equation $5t^-12t=2$ para ser $$t=\dfrac{1}{5}(6\pm\sqrt{46}\implies 10^{\frac{1}{5}(6\pm\sqrt{46})}-2\approx 358,-1.3$$

Tenga en cuenta que este reproduce el $x=3$ raíz citado, pero no la $$x=2+10^2,2+10^{-7}\implies t=2,-7$$ roots. This would follow, however, if we had the quadratic equation $t^2-5t-12=2$ en su lugar (que es sospechosamente similar a la de la ecuación se obtienen...).