Secuencia de dígitos $7143$ aparece en algún lugar después de la coma

Question

Dejemos que $m,n$ sean enteros positivos tales que en la representación decimal de $\frac{m}{n}$ la secuencia de dígitos $7143$ aparece en algún lugar después de la coma. Demuestre que $n>1250$ .

Para valores pequeños de $n$ podemos comprobar todas las posibles secuencias de dígitos que aparecen después de la coma escribiendo $\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots,\frac{n-1}{n}$ pero haciendo eso hasta $n=1250$ sin un ordenador sería demasiado.

Answer 1

La maquinaria de fracciones continuas dará esto, aunque no muy elegantemente. He aquí un esquema: Obsérvese en primer lugar que podemos suponer que $$\frac{m}{n}=0.7143...= \frac{7143+q}{10^4} ,$$ con $0\le q<1$ . Ahora ejecute el algoritmo de la fracción continua, como se describe en el enlace, en este número: obtenemos que $a_0=0$ , $$\frac{10^4}{7143+q}= 1+ \frac{2857-q}{7143+q} ,$$ (así $a_1=1$ ), entonces $$\frac{7143+q}{2857-q} = 2 + \frac{1429+3q}{2857-q} ,$$ así que $a_2=2$ entonces $$\frac{2857-q}{1429+3q} = 1 + \frac{1428-4q}{1429+3q} ,$$ así que $a_3=1$ entonces $a_4=1$ y el remate es que $a_5$ será enorme. Si lo calculamos cuidadosamente, obtenemos que $a_5\ge 178$ (el peor caso se da cuando $q\simeq 1$ ).

Como nuestro número $m/n$ es racional, el algoritmo termina en algún punto, digamos en el paso $N$ y luego $m/n$ es igual al convergente $h_N/k_N$ . Los denominadores satisfacen la relación de recurrencia $k_n=a_n k_{n-1}+k_{n-2}$ con valores iniciales $k_{-2}=1$ , $k_{-1}=0$ (véase de nuevo el artículo de la wikipedia). Esto da sucesivamente $k_0=1$ , $k_1=1$ , $k_2=3$ , $k_3=4$ , $k_4=7$ , $k_5\ge 178\cdot 7+ 4 = 1250$ .

Necesitaríamos $q=1$ para la igualdad, y entonces efectivamente $7144/10^4=893/1250$ pero $q=1$ no se permitió arriba porque este número no tiene la $3$ en el $4$ dígito (es igual a $0.7144$ ). Así que también obtenemos una desigualdad estricta.

Sospecho que hay una solución más sencilla, utilizando el cálculo del último párrafo.