¿Cómo calcular la distancia línea-línea cuando el producto cruz de las direcciones es 0?

Question

Tengo las líneas

$$\frac{x-1}{2} = 1-y = \frac{z-2}{3} \tag{1}$$

y

$$\frac{x+1}{4} = \frac{4-y}{2} = \frac{z+1}{6} \tag{2}$$

Quiero calcular la distancia entre ellos.

Empecé poniéndolos en forma vectorial:

$$r_1 = (1,1,2) + x(2,-1,3) \tag{3}$$

y

$$r_2 = (-1,4,-1) + y(4,-2,6) \tag{4}$$

A continuación, quería proyectar una línea que uniera las dos a lo largo de la unidad normal a ambas líneas. Sin embargo, al calcular el producto cruz de sus direcciones, obtengo $(0,0,0)$ . Esto me llevó a creer que la distancia entre las líneas es cero, lo cual no es cierto.

¿Qué he hecho mal?

Answer 1

La distancia deseada es la distancia más corta perpendicular a ambas rectas. Toma cualquier punto de las dos rectas en función de cualquier parámetro que quieras asignar digamos $k_1$ y $k_2$ supongamos que los puntos son $P_1:(f_1(k_1),f_2(k_1),f_3(k_1)$ en $L_1$ y $P_2:(f_4(k_2),f_5(k_2),f_6(k_2)$ en $L_2$ . La dirección coseno que une los dos puntos, $P_2-P_1$ y si encuentra la distancia más corta estas dirección coseno debe ser perpendicular a ambas las líneas. Resuelve para la variable $k_1$ y $k_2$ a partir de esta condición se obtienen los puntos y, por tanto, la distancia.

Answer 2

La forma más habitual de calcular la distancia no utilizando el producto cruzado es:
Sea $\mathbf{r}_1=\mathbf{A}+x\mathbf{l}_1$ , $\mathbf{r}_2=\mathbf{B}+y\mathbf{l}_2$ las líneas y $(\mathbf{a},\mathbf{b})$ el producto interior (o punto) de $\mathbf{a},\mathbf{b}$ .
(a) Encontramos 2 puntos $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2$ en las líneas tales que $(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathbf{l}_1)=0$ y $(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathbf{l}_2)=0$ (es decir $\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2$ perpendicular a ambas líneas)
(b) entonces $|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|$ sería la distancia.
Sin embargo, si $\mathbf{l}_1||\mathbf{l}_2$ sólo desaparece una variable, ya que las dos ecuaciones anteriores son equivalentes, por lo que basta con sustituir la otra variable en $|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|$ y desaparece cuando las líneas son paralelas.
En el caso anterior:
$\mathbf{r}_1=(1,1,2)+x(2,1,3), \mathbf{r}_2=(1,4,1)+y(4,2,6),$
$\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2=(2,-3,3)+(x-2y)(2,1,3)$ $(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathbf{l}_1)=((2,-3,3)+(x-2y)(2,1,3),(2,1,3))=$
$((2,-3,3),(2,1,3))+(x-2y)((2,1,3),(2,1,3))=16+14(x-2y)=0$
$x-2y=-\frac{8}{7}$
$\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2 = (2,-3,3)-\frac{8}{7}(2,1,3)=\left(-\frac{2}{7}, -\frac{13}{7}, -\frac{3}{7}\right)$
$|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|=\frac{\sqrt{2^2+13^2+3^2}}{7}=\frac{\sqrt{182}}{7}$