Límite superior para la varianza de una variable aleatoria media cero (arbitraria)$X$ distancia dada entre ella y una variable aleatoria conocida$Y$

Question

Tengo un cero significa aleatoria Gaussiana variable $Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2_X)$ con conocidos de la varianza $\sigma_X^2$. También tengo un cero significa variable aleatoria $X$, que puede ser dependiente de $Y$ (aunque, puedo tolerar la independencia suposición, si no lastima el final obligado demasiado). Además de tener media cero, sé que dos conjuntos de hechos acerca de las $X$:

1. Su varianza, mientras desconocido, es mayor que $\sigma_X^2$;
2. Uno (o más, pero uno es suficiente) de los siguientes hechos tienen sobre la distancia entre las distribuciones de $X$$Y$: $$\begin{align} D(p_Y\|p_X)&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\exp(-x^{2}/2\sigma_X^2)}{\sqrt{2\pi}\sigma_X}\log\frac{\exp(-x^{2}/2\sigma_X^2)/\sqrt{2\pi}\sigma_X}{p_X(x)}dx\leq\epsilon_{KL}\\ H^2(Y,X)&=1-\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\frac{\exp(-x^{2}/2\sigma_X^2)}{\sqrt{2\pi}\sigma_X}p_X(x)}dx\leq\epsilon_{H}\\ TV(Y,X)&=\int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{\exp(-x^{2}/2\sigma_X^2)}{\sqrt{2\pi}\sigma_X}-p_X(x)\right|dx\leq \epsilon_{TV} \end{align}$$

$D(p_Y\|p_X)$, $H^2(Y,X)$, y $TV(Y,X)$ son de Kullback-Leibler divergencia, Hellinger distancia, y el Total de la variación de la distancia, respectivamente. Estas tres cantidades se utilizan comúnmente para caracterizar la distancia entre distribuciones.

Estoy tratando de encontrar el máximo de la varianza de $X$ de manera tal que la distribución de $X$ satisface ninguna de las anteriores requisitos de distancia. Yo realmente no se preocupan acerca de la distribución, su segundo momento.

¿Alguien tiene alguna idea?

Esta es una relativa a una pregunta que le hice antes, pero aquí he generalizado es aquí bastante.

Answer 1

En primer lugar, creo que la dependencia y la independencia son discutible aquí. Su pregunta es acerca de dos distribuciones de probabilidad, y su distribución conjunta nunca entra.

No estoy seguro de que usted puede vinculado a la varianza de $X$ a todos. Por ejemplo, supongamos $X$ es una mezcla de distribuciones que con una probabilidad de $1-\epsilon$$N(0, \sigma_X^2)$, y con una probabilidad de $\epsilon$ es de alguna distribución con algunos de gran varianza $a$. Eligiendo $\epsilon$ muy pequeño, puede al menos hacer que el total de la variación de la distancia pequeña, independiente de $a$. Entonces usted puede optar $a$ muy grande, por lo que $X$ tiene gran diferencia. Para otras distancias no es tan claro lo que sucede, pero os invito a probarlo.