¿Cómo convertir una fracción en ternaria?

Question

En un sistema ternario, ¿cómo es$\dfrac{1}{2}=0.\bar1$,$\dfrac{1}{3}=0.1=0.0\bar2$ ??, etc. En general, ¿cómo se escribe una expresión ternaria para una fracción dada?

Answer 1

Supongo que usted sabe cómo convertir números enteros de base 10 a base 3, por lo que esta será la respuesta de la dirección de fracciones entre $0$$1$.

Decir, por ejemplo, que el $\frac{5}{8} = 0.625$ significa que $\frac{5}{8} = 6 \frac{1}{10} + 2 \frac{1}{100} + 5 \frac{1}{1000}$. Para convertir una fracción $\frac{a}{b}$ a ternario significa que queremos encontrar los coeficientes de $c_1, c_2, c_3, \ldots$ tal que $$\frac{a}{b} = c_1 \frac{1}{3} + c_2 \frac{1}{3^2} + c_3 \frac{1}{3^3} + \cdots.$$

La búsqueda de estos coeficientes puede ser automatizado. De hecho, lo que sigue es exactamente el largo algoritmo de la división se enseña en la escuela primaria para la conversión de fracciones a decimales, adaptado a la base 3. (También puede simplemente convertir todo a base de 3 en primer lugar y, a continuación, hacer una división larga, como se menciona en los comentarios. Para el algoritmo se describe a continuación, sin embargo, todos los cálculos se pueden hacer en base 10, lo cual es bueno ya que estamos acostumbrados a trabajar en base 10.)

Para encontrar $c_1$, se multiplica la ecuación anterior por $3$ obtener $$\frac{3a}{b} = c_1 + c_2 \frac{1}{3} + c_3 \frac{1}{3^2} + \cdots .$$ Divide $b$ into $3a$ to get $\frac{3a}{b} = \frac{qb + r}{b}$, with $p$ the quotient and $r$ the remainder. The quotient $\frac{qb}{b} = p$ will equal $c_1$, the integer part of the right-hand side, and $\frac{r}{b}$ will be the fractional part; i.e., $$\frac{r}{b} = c_2 \frac{1}{3} + c_3 \frac{1}{3^2} + \cdots.$$ Then multiply by $3$ de nuevo, y repetir el procedimiento hasta que termina o comienza a repetirse a sí misma.

En forma de tabla y se aplica a $\frac{5}{8}$, este proceso se ve como la siguiente, donde el numerador de la fracción en cada línea viene de $3r$ en la línea anterior.

$$\begin{matrix} \text{current fraction } & \text{quotient } q & \text{remainder } r & 3r \\ \frac{5}{8} & 0 & 5 & 15 \\ \frac{15}{8} &1 & 7 & 21\\ \frac{21}{8} &2 & 5 & 15\\ \frac{15}{8} &1 & 7 & 21\\ \frac{21}{8} &2 & 5 & 15\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{de la matriz}$$ La base 3 de la representación proviene de los cocientes, por lo $\frac{5}{8}$ ternario debe ser $0.\overline{12}_3$.

Así que ¿por qué esto es equivalente a la división larga? Con la división larga, después de encontrar un cociente y un resto en un determinado paso, a continuación, "llevad a la $0$," lo cual implica la concatenación de una $0$ en el final de el resto. Matemáticamente, la adición de un $0$ sobre el fin de un número en base 10 significa que usted está multiplicando por $10$. Ya estamos trabajando en la base 3 aquí, queremos multiplicar el resto, por $3$. Esa es la única diferencia entre lo que yo he dicho aquí y en el largo algoritmo de la división se enseña en la escuela primaria.

Answer 2

La forma más fácil de hacerlo, creo, es convertir todo antes de que el punto decimal de la forma habitual. A continuación, usted sólo tiene que repetir el siguiente proceso:

1. Restar 1 hasta obtener entre 0 y 1.
2. Se multiplica por 3.
3. La parte entera de que su respuesta es la siguiente dígito de la ternario de expansión.
4. Enjuague y repita.

Ejemplo, el uso de $\frac{15}{4}$:

La parte entera es 3, por lo que podemos escribir la $10_3$. Ahora estamos a la izquierda con $\frac{3}{4}$. Multiplicar por 3 para obtener $\frac{9}{4}$, con una parte entera de 2. Así que tenemos $10.2_3$. Restar el 2 de $\frac{9}{4}$, y tenemos $\frac{1}{4}$. Multiplicar por 3, obtenemos $\frac{3}{4}$. Esto no tiene parte entera, por lo que el resultado actual es $10.20_3$. Ahora, esto se repita, como es obvio, por lo que el resultado final es $10.\overline{20}_3$.

Ahora, en cuanto a por qué esto funciona, es sólo una visualización de intentar expresar la parte decimal por las fracciones con denominador una potencia de 3. Que es lo que ternario decimal expansión.

Edit: me doy cuenta de que esta respuesta es bastante igual a Mike spivey se, y la mía es mucho menos preciso y esas cosas. Lo siento por eso.