¿Son los anillos$\mathbb{R}^2$ y$\mathbb{R}^3$ isomorfos?

Question

Son los anillos $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ isomorfos, donde $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}+\mathbb{R}$ y es el conjunto de todos los pares $(a,b)$ con $a,b \in \mathbb{R}$ , y $\mathbb{R}^3=\mathbb{R}+\mathbb{R}+\mathbb{R}$ es el conjunto ¿De todos los triples $(a,b,c)$ con $a,b,c \in \mathbb{R}$ , usando la suma y la multiplicación de componentes?

Answer 1

Considere idempotentes en cada anillo, que son soluciones de $e^2=e$ . En tu primer anillo estás resolviendo $(a^2,b^2)=(a,b)$ , y en el segundo, $(a^2,b^2,c^2)=(a,b,c)$ . ¿Cómo pueden tener las soluciones en cada caso?

Answer 2

INSINUACIÓN. Si van a ser isomorfos, debería funcionar para cualquier anillo. Piense en el caso especial donde el anillo es en realidad un campo, es decir, $R=\mathbb{k}$ . ¿Puedes pensar en algunos teoremas del Álgebra Lineal básico para decir si los anillos $R^2=\mathbb{k}^2$ y $R^3=\mathbb{k}^3$ son isomorfos o no? Tal vez centrarse en la única diferencia entre ellos ...