¿Cuál es el número que, cuando se divide por$3$,$5$,$7$, deja restos de$2$,$3$,$2$, respectivamente?

Question

¿Cual es el número?

El MCM de los divisores es 105. Creo que esto tiene algo que ver con el teorema de permanencia chino, pero no estoy seguro de cómo aplicar este conocimiento.

Answer 1

Sí, este es el primero conocido de la incidencia del Teorema del Resto Chino (CRT).

De La Wikipedia:

El más antiguo conocido de la declaración de la CRT, como un problema específico los números, aparece en el 3 libro del siglo Sunzi de la Matemática Clásica (孫子算經) por el matemático Chino Sun Tzu:[2] " Hay ciertas cosas cuyo número es desconocido. Si podemos contar con ellos por tres, tenemos dos a la izquierda; de cinco en cinco, nos quedan tres más; y de siete pares, dos son de sobra. Cuántas cosas hay?"

La solución dada por la CRT algoritmo es, de hecho,$x\equiv 23 \bmod 105=3\cdot 5\cdot 7$, como se muestra allí. Así que hay $23+k\cdot 105$ cosas, para $k\in \mathbb{N}$.

Answer 2

Se puede usar el teorema chino, pero para evitar este problema: llame al número$n$. Entonces$n-2$ es un múltiplo de$21$. Como$n-3$ es un múltiplo de$5$,$n$ termina con$3$ o$8$ y$n-2$ termina con$1$ o$6$. El valor más pequeño para$n-2$ es$21$.

Answer 3

Podemos resolver de manera simple sin el teorema del residuo chino.

Dejar $n = 3x + 2 = 5y + 3 = 7z + 2$.

Entonces, $5y + 3 \equiv 3x + 2 \equiv (\mod 3) \implies y \equiv 1(\mod 3)y$

Por lo tanto, deje$y = 3k + 1$ que da$n = 5y + 3 = 15k + 8$.

Otra vez $n = 15k + 8 \equiv 7z + 2 (\mod 7) \implies k \equiv 1 (\mod 7)$

Por lo tanto, dejemos$k = 7m + 1$. Esto da $n = 15k + 8 = 105m + 23$

Por lo tanto, en general, el número$n$ tiene la forma$n = 105m + 23$. El número más pequeño es cuando$m = 0$, obtenemos$n = 23$.

Answer 4

Deje que$N$ sea el número, de modo que tengamos$$N=3n_1+2=7n_2+2\Rightarrow n_1=7k\Rightarrow N=21k+2$ $ Además de $$21k+2=5n_3+3\iff 21k-5n_3=1\qquad (*)$ $ Since $% (k, n_3) = (1,4)$ is a solution of $ (*)% # PS