Irreductible de los componentes de la variedad $V(X^2+Y^2-1,X^2-Z^2-1)\subset \mathbb{C}^3.$

Question

Quiero encontrar la irreductible de los componentes de la variedad $V(X^2+Y^2-1, \ X^2-Z^2-1)\subset \mathbb{C}^3$, pero estoy completamente atascado en cómo hacer esto. Tengo algunos resultados útiles que me puede ayudar a descomponer $V(F)$ al $F$ es un único polinomio, pero el problema parece mucho más difícil, incluso con sólo dos polinomios. Por favor alguien puede ayudarme?

EDIT: En el intento de responder a esta pregunta, sabía que sería útil saber si el ideal $I=(X^2+Y^2-1, X^2-Z^2-1)$ fue un primer ideal de $\mathbb{C}[X,Y,Z]$ pero me estoy dando cuenta que es difícil describir el cociente del anillo. Es un alojamiento ideal?

Answer 1

Aquí es un enfoque ad hoc:

Sabemos que un punto de $(x,y,z)\in\mathbb C^3$ es en la intersección de la fib $x^2+y^2-1=0$$x^2-z^2-1=0.$, En particular, debemos tener $x^2+y^2-1=x^2-z^2-1,$, con lo cual se simplifica a$y^2+z^2=0.$, con Lo que el punto debe estar en uno de los dos hyperplanes $V(Y\pm iZ),$ es decir, $y=\pm iz.$

Por otro lado, supongamos que $(x,y,z)$ satisface $x^2+y^2-1=0$ $y=\pm iz.$ esto implica que $x^2+(\pm iz)^2-1=x^2-z^2-1=0.$ por Lo tanto, vemos que podemos describir de la intersección como $V(X^2+Y^2-1,Y-iZ)\cup V(X^2+Y^2-1,Y+iZ).$

Por lo tanto, hemos reducido a la búsqueda de la irreductible componentes de $V(X^2+Y^2-1,Y\pm iZ).$ de La coordenada correspondiente anillos son isomorfos a $$\mathbb C[X,Y,Z]/(X^2+Y^2-1,Y\pm iZ)\cong\mathbb C[X,Y]/(X^2+Y^2-1),$$ which implies that $V(X^2+Y^2-1,Y\pm iZ)$ son irreductibles.